2. Выдающиеся люди из истории математического изобразительного искусства. Картина математика

математика Фотографии, картинки, изображения и сток-фотография без роялти

#45658554 - Beautiful young school girl in front of big blackboard

Похожие изображения

Добавить в Лайкбокс

#42877801 - Thin line flat design of STEM academic disciplines, science education..

Вектор

Похожие изображения

Добавить в Лайкбокс

#38268813 - Mathematics equations and formulas on a white background

Похожие изображения

Добавить в Лайкбокс

#32000491 - Two children are reading books on long, surreal wooden chairs..

Похожие изображения

Добавить в Лайкбокс

#44029184 - Education background design. Science colorful vector composition.

Вектор

Похожие изображения

Добавить в Лайкбокс

#43377625 - Kid Looking at Laptop, Child with Notebook, Little Boy Mathematics..

Похожие изображения

Добавить в Лайкбокс

#48094760 - Math education vector seamless pattern with figures, handwritten..

Вектор

Похожие изображения

Добавить в Лайкбокс

#36438513 - School supplies used in math , geometry or science toned in..

Похожие изображения

Добавить в Лайкбокс

#45866241 - Little boy counting with fingers illustration

Вектор

Похожие изображения

Добавить в Лайкбокс

#43914055 - Math equations against students desk with tablet pc

Похожие изображения

Добавить в Лайкбокс

ru.123rf.com

Математика в изобразительном искусстве

« Математика в изобразительном искусстве»

Проект подготовила

учитель математики

МБОУ Калининской СОШ

Железникова С.П.

Мне хочется, чтобы живописец был как можно больше сведущ во всех свободных искусствах, но прежде всего я желаю, чтобы он узнал математику.

Леон Батиста Альберти

Актуальность проблемы

Проведя опрос среди учащихся 5 - 11 классов под моим руководством было выявлено следующее: 80% учащихся, считают математику далекой от искусства, никак не связанной с ним и поэтому не достойной для серьезного увлечения ею.

Исходя из этого я пришла к выводу, что большая часть людей просто не хочет замечать связи математики и искусства ,и не считает ее значимой в силу сложившихся на протяжении жизни стереотипов.

Поэтому было принято решение продемонстрировать на примерах ошибочность мнения о скучности математики и ее законов, о малой практической применимости в искусстве законов математики и ее свойств. Показать, что без математики не обойтись ни в одном деле, что она окружает нас везде в школе, дома, на работе, в офисе. Показать ,что очень многим мы обязаны математике.

Во-первых , Математика – это царица всех наук, символ мудрости.

 

  Во-вторых , Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства.

  

В-третьих, Математика не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты.

 

В- четвертых , Законы математики используются в живописи, музыке, скульптуре, архитектуре, поэзии, в повседневной жизни

Цель работы: Доказать, что связь между изобразительным искусством и математикой существует.

Задачи:

-Проанализировать литературу по данной теме;

-Выяснить, как математика проявляется в различных видах искусства;

-Рассмотреть `математические начала` формообразования в архитектуре, живописи;

-Опросить учащихся своей школы о связи математики с искусством.

Методы исследования:

- изучить необходимую литературу и интернет – источники для ознакомления с материалом, необходимым для выполнения работы;

- проанализировать источники и сделать вывод, соответствующий цели проекта;

- подготовить презентацию работы.

Объект исследования  –  связь искусства с математическими науками.

Основные понятия

Математика - царица всех наук. Это способ описать мир и то, как одна его часть сочетается с другой. Взаимоотношения чисел выражаются в математических символах, которые описывают Вселенную, в которой мы живем .

Искусство - это творческое отражение , воспроизведение действительности в художественных образах. Искусство существует и развивается как система взаимосвязанных между собой видов, многообразие которых обусловлено многогранностью самого реального мира , отображаемого в процессе художественного творчества.

Этапы реализации проекта

1 этап – подготовительный : изучение литературы, сбор информации;

2 этап – практический:  исследование связи изобразительного искусства и математики;

3 этап – аналитический : анализ полученных результатов, выводы.

Ожидаемый результат

Через исследовательски-поисковую работу я предполагаю:

1.Воспитать чувство личной ответственности за всё происходящее в окружающем мире, потребность быть деятельным соучастником в общественной, трудовой, учебной и досуговой сферах жизни.

2.Способность к творчеству, потребность в углубленном изучении связи математики и изобразительного искусства, умение самостоятельно добывать новые знания.

3. Воспитать чувство прекрасного и развитие эстетического вкуса.

4.Создание экспозиций на уроках изобразительного искусства.

5. Создание презентации о связи математики и искусства. .

Форма реализации проекта

Участники реализации проекта

• Ученический коллектив школы.

• Индивидуальная

Направления деятельности

1.Математика и симметрия.

2.Математика в архитектуре.

3. Математика в живописи.

4.Связь математики и изобразительного искусства при конструктивном построении натюрморта.

5.Фракталы

“ Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство"

Герман Вейль

Принцип "симметрии" широко используется в искусстве. Бордюры в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты в прикладном искусстве, - все это примеры использования симметрии. Принцип симметрии очень часто используется совместно с принципом "золотого сечения".

СИММЕТРИЯ В АРХИТЕКТУРЕ Театральная площадь, Большой театр О.Бове, А.Михайлов 1821-1853

Триумфальная арка Ж.Ф.Т.Шальгрен 1806-1836 Франция, Париж

Симметрия в архитектуре нашей школы

СИММЕТРИЯ В ЖИВОЙ ПРИРОДЕ

Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Симметрия

не только радует

глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, но и позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

В живой природе огромное

большинство живых организмов

обнаруживает различные

виды симметрий

Математика в архитектуре

• Архитектура — удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника и искусство. Люди с доисторических времён строят удивительно красивые сооружения, в которых используют знания из различных областей науки.

Большой Сфинкс

Рим

Колизей

Триумфальная арка

Париж

Триумфальная арка

Париж

Создание экспозиций на уроках изобразительного искусства.

Создание экспозиций на основе прямоугольника

Наука и искусство, словно нити холста, переплетались в полотнах мастеров Возрождения. Живопись переходила в начертательную геометрию, а геометрия – в искусство.

Математика и живопись

• Один из примеров «золотого сечения» является творчество Леонардо да Винчи.

Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.

Золотые пропорции в частях тела человека

Золотое сечение – это такое пропорциональное

деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:

a : b = b : c или с : b = b : а.

Согласно канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя).

В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. Так, большинство высоких людей отличаются удлиненным черепом и, наоборот, редко можно встретить низкорослого толстяка с головой удлиненной формы.

Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди. Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые

обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Вся фигура и картина в целом опутана здесь двумя золотыми треугольниками и сетью больших, средних и малых золотых прямоугольников, ориентированных по ширине или высоте полотна.

Проведение математического вечера «Занимательная математика»

Связь математики и изобразительного искусства при конструктивном построении натюрморта.

• Натюрморт (фр. nature morte — букв. «мертвая природа») — изображение неодушевлённых предметов в изобразительном искусстве, в отличие от портретной, жанровой, исторической и пейзажной тематики.

• При построении натюрморта используются такие понятия как: параллельные прямые, геометрические фигуры, отношения, пропорции, оси симметрии. Приведём пример построения на простейшем натюрморте, состоящем из трёх предметов(ваза, кружка, груша)

Ваза при построении в первую очередь учитывается отношение высоты вазы к ширине. h/b Затем проводятся оси симметрии. Чтоб точнее передать изображение, предмет разбивается на простые формы, геометрические фигуры.

Фракталы.

Люди придумали цифры и действия с ними, а потом в них же открыли множество законов, правил и теорем. Кроме того, оказалось, что в жизни цифр, линий, углов и бесконечно малых величин можно увидеть много красивого – изящные теоремы, тела, поверхности, даже условия задач. Числа живут своей жизнью, и мы, соприкоснувшись с ней, удивляемся, а иногда и любуемся ею. Компьютер дает нам возможность видеть на экране те или иные процессы, которые мы программируем.

Фракталы получают с помощью некоторой ломаной. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется по некоторому правилу на некоторую ломаную в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Очень часто описанным способом пользуются при рисовании орнаментов, облаков, деревьев и т. д.

«Математика» в рисунках

3 класс

Заключение:

Примеры взаимопроникновения математики в различные сферы искусства и наоборот можно приводить бесконечно…И чем дальше этим занимаешься, тем увлекательнее становится такая работа. Но даже приведенных примеров, я думаю, достаточно для того, чтобы согласиться со словами Бертрана Рассела:

«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Легко отыскать примеры прекрасного, но как трудно объяснить, почему они прекрасны . Платон

Успенский собор. Владимир.

Буддийский храм Удзи. Япония

Кариатиды храма Эрехтейнов. Греция .

Лондон. Тауэрский мост

Математик, так же как и художник или поэт, создает узоры, и если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей .

Саврасов Грачи прилетели

МНОГИЕ ХУДОЖНИКИ В СВОИХ РАБОТАХ ИСПОЛЬЗУЮТ МАТЕМАТИКУ. НАДЕЮСЬ, ЧТО В СВОЕЙ РАБОТЕ Я ДОКАЗАЛА, ЧТО, КАЗАЛОСЬ БЫ, ТАКИЕ ОТДАЛЁННЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ КАК МАТЕМАТИКА И ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОЕ ИСКУССТВО ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ДРУГ С ДРУГОМ, А В ТВОРЧЕСТВЕ НЕКОТОРЫХ ХУДОЖНИКОВ ОНИ ОЧЕНЬ ТЕСНО СВЯЗАНЫ.

Список литературы:

• Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 7-9. – М.: Просвещение, 2010
• А.В. Волошинов. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 2000
• Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир: Пособие для учащихся.—М.: Просвещение, 1982
• http://tambov.fio.ru/vjpusk/vjp055/rabot/04/index.htm
• http://www.likt590.ru/projects/matematika-2007/256,1
• http://db.projectharmony.ru/upload/events/iteach-news/291,1
• http://tmn.fio.ru/works/90x/311/d10-1.htm
• http://www.zachetka.ru/referat/preview.aspx?docid=15848
• http://www.artlebedev.ru/kovodstvo/85/
• http://www.flora-expo.ru/index.php?id=4
• http://www.japantoday.ru/japanaz/arhi.shtml
• http://www.history.ru/index.php

multiurok.ru

Математика и искусство

    

 

КОНФЕРЕНЦИЯ

«МАТЕМАТИКА И ИСКУССТВО»

 

                     ЧТО ЕСТЬ КРАСОТА

                     И ПОЧЕМУ ЕЕ ОБОЖЕСТВЛЯЮТ ЛЮДИ?

                     СОСУД ОНА, В КОТОРОМ ПУСТОТА,

                     ИЛИ ОГОНЬ, МЕРЦАЮЩИЙ В СОСУДЕ?

                                       Н.ЗАБОЛОЦКИЙ

Любая наука могла бы гордиться такой историей, как история математики, так как она - меньше всех история ошибок.

Учитель: Человек многогранен. У каждого из вас есть какой-то дар от природы. Кто-то сочиняет стихи, кто-то поет, кто-то рисует, кто-то умеет делать это все сразу. А помогает ли вам в этом математика? Вы даже и не задумывались над этим.

Математика и скульптура, математика и музыка, математика и живопись. Что в них общего? На первый взгляд ничего. А если посмотреть внимательней! Науку и искусство объединяет стремление к познанию и творчеству. Они часть людской цивилизации, поэтому обогащают друг друга.

«Математика и искусство» - так звучит тема нашей конференции.

Выступления учащихся.

 

Можно к предложенным темам добавить свои или заменить полностью.

 

 

                   МАТЕМАТИКА И СКУЛЬПТУРА

Мы в необычной портретной галерее. Здесь можно увидеть древнейших предков человека. Вот воины государства Урарту, Киевский князь Ярослав Мудрый, Иван Грозный, флотоводец Ушаков Ф.Ф.   

     

Все эти портреты созданы М.М. Герасимовым, скульптором-антропологом.

Можно ли создать документальный портрет человека, который жил очень давно?» Можно, если посмотреть на портрет»,- ответите вы. Но не всем портретам нужно доверять. Художники часто приукрашали или стилизовали портреты. В начале 20 в. у ученых возникла мысль: а можно ли использовать череп для восстановления лица? При этом нужно знать, как связаны мышцы и кости, как зависит внешний вид человека от его скелета. Работы ученых- антропологов говорят нам о такой зависимости. Они брали достоверный портрет и вписывали в него с помощью рентгеновского изображения контуры черепа в соответственном ракурсе и масштабе. Так было решено то, какой из двух черепов принадлежит Рафаэлю.

Герасимов начинал с изучения анатомии. Многолетний труд, тысячи измерений, систематизация связей между формой отдельных частей лица и рельефов черепа. Мужские, женские, детские черепа. Составление таблиц, фотографий, рентгеновские снимки, сравнение, составление графических уравнений - «черновая работа в науке», о которой говорил академик Павлов и без которой невозможно открытие, короче говоря, сплошная математика.

Ключ найден. Только нужен контрольный опыт. Как проверить себя? Нужно восстановить лицо человека, который жил недавно, и сопоставить с фотографиями.

В 1937 году Герасимов получил для контрольного опыта череп, найденный в склепе на кладбище г. Москвы. Ему сказали, что этот человек жил более 100 лет тому назад. Череп сильно пострадал – потрескались зубы, отсутствовали некоторые кости. Герасимов сначала восстановил череп, а потом и лицо с помощью воска, сделал прическу, которую носили в прошлом столетии. Это была женщина с высоким лбом, широким овалом лица, большими красивыми глазами. Закончив работу, Герасимов узнал, что восстановил голову Марии Достоевской – матери известного писателя. Сохраненная фотография и скульптурное изображение показали, что это один и тот же человек. Это была настоящая победа в науке.

 

МАТЕМАТИКА И АРХИТЕКТУРА

К архитектуре во все времена было три требования – целесообразность, крепость и красота.

Никто не обустроит   себе спальню в высоком зале, а для танцевального вечера не выберет комнатку. Стадион, театр, библиотека отличаются один от другого и внешним видом, и внутренним обустройством. Целесообразность – обязательное соответствие строения своему предназначению.

О крепости архитектурных сооружений хорошо сказано в сказке про трех поросят. Красота, гармония в разные века была разной. В Египте строили колоннами (зал в Корнаке).

Колонны стоят близко, огромные, высокие. В таком «лесу» хорошо пугать. Так же строили греки. Балка, балка, а сверху перекрытие. Такие строения могли расти в длину и ширину.

 

 Шли года. Цивилизация продвигалась на север. Росли города и стала возникать потребность в высоких домах. Эту функцию взяла на себя арка-дуга.

Поставим руки локтями на стол и переплетем пальцы рук,- выйдет арка. Место переплетения рук – замок арки. Надавите подбородком на него- и почувствуете легкую боль в локтях. Давление по арке распределяется во все стороны и позволяет строить второй этаж. Более того, ряды полукруглых арок позволяют строить полукруглый свод(Колизей).

В начале такие сооружения не имели потолка, т.к. не была решена главная математическая задача: как покрыть круглый дом? И вот в конце 50-х годов прошлого века профессор Московского архитектурного института М.С.Туполев разработал конструкцию кристаллических куполов, которые состоят из равносторонних многоугольных пластин.

Отрасль использования куполов разнообразная.

Их можно использовать и как выставочные павильоны, торговые залы, кафе, рестораны и т.д. Размеры помещений не ограничены. Так, в г. Истра под Москвой построен купол с пролетом в 237 метров. В таком сооружении можно разместить целый микрорайон. Идея использования кристаллических куполов позволяет строить гигантские 60-метровые круглые дома. Пример – выставочный Центр во Флориде. 

Архитектура сегодня движется в двух направлениях:1) конструирование необходимых форм на основе математических методов;2) заимствование этих форм у живой природы. Справедливо высказывание:» Живые прототипы - ключ к новой архитектуре бионики».

Архитектура второго направления теряет поэзию прямого угла, принимая легкие округлые очертания. Но их нужно вычислить. На помощь приходит геометрия. Она - посредник между природой и архитектурой. В чем же секрет гармонии природных форм? Мы знаем, что прямая – кратчайшее расстояние между двумя точками, а шар – компактнейшая геометрическая форма. Почему же в живой природе они не встречаются? Зато они встречаются в своих производных. Наполните шарик водой и положите на стол - он станет похож, но морского ежа. Возьмите несколько одинаковых шариков, положите на ровную поверхность так, чтобы они касались друг друга, а сверху положите прозрачное стекло. Придавите. Видите? Шарики похожи на пчелиные соты.

Архитектурная бионика рассматривает все: паутину паука, крыло Кажана -и возникают тенты на гнущемся контуре; симметрию цветов, морских звезд – возникает, например, дом оперного театра в Сиднее; раскроют раковины моллюсков – и получают купол выставочного зала в Эйндховене (Голландия).

Форма крыльев бабочки вдохновляют архитекторов на создание аэропорта в Нью-Йорке.

Архитектурная бионика имеет древние корни. Р. Декарт на основании метода координат изучал кривую, которая получила название 

    «Лепесток жасмина», ее уравнение х + у = 3аху. В 18 столетии итальянский геометр Г. Гранди описал уравнениями семейство цветов.

Немецкий математик Б. Хабенихт получил уравнение листьев, плодов, жуков.

Архитектурная бионика еще только начинает свой путь. Но уже сейчас понятно, что это перспективное направление в архитектуре.

 

                  МАТЕМАТИКА И ЖИВОПИСЬ

 Геометрические мотивы нередко присутствуют в картинах известных художников. Хотя художник часто действует интуитивно, а искусствовед – сводит весь художественный арсенал картины к упрощенной геометрической схеме. Чаще всего художественные полотна создаются на основе двух геометрических конструкций – «золотого сечения» и спирали Архимеда.

«Золотое сечение» часто связывают с именем Пифагора. В его школе изучались свойства геометрических фигур. Из наблюдений была выведена математическая зависимость гармонии – AB: CB = CB: AC. (см. выше)  

Архитекторы древности знали, что от домов, построенных по такому правилу, веет теплом и покоем. Наоборот, ощущение динамики проявляется сильнее в спирали. Спиралью называют плоскую линию, образованную точкой, которая движется от начала координат (по заданному закону) и равномерно вращается вокруг своего начала. (См. выше)

Золотое сечение – это такое деление отрезка, при котором длина всего отрезка относится к длине его большей части, как длина его большей части к меньшей (прибл. 0,618).

Золотой прямоугольник обладает многими свойствами. Если от него отрезать квадрат (см. выше), то следует снова золотой прямоугольник и так до бесконечности. Если соединить вершины квадратов плавной линией, то получится золотая спираль.

 

Перед нами две картины – «Корабельный лес» И.И.Шишкина и «Избиение младенцев» Рафаэля Санти: одна дышит покоем и гармонией, другая вызывает тревогу, желание куда-то спрятаться.

Видите, сосну, которая стоит на переднем плане? Она визуально делит картину на два фрагмента – яркую залитую солнцем поляну и полутень. Если измерять картину, то выйдет, что длина картины к сосне так относится к длине всей картины, как меньшее расстояние до сосны к большему. Каждый из фрагментов картины построен по тому же принципу. Вот откуда этот уравновешенный характер.

Обратимся к картине Рафаэля и найдем ее центр, т.е. наиболее драматический эпизод. Это женщина с левой стороны, которая закрывает ребенка своим телом от удара. Проведем мысленно линию: руки, голова ребенка, голова женщины, голова злодея, нога женщины, еще одна женщина, которая закрывает ребенка, и еще одна, поднятая для удара рука.

Полученная линия является золотой спиралью Архимеда.

Каждое столетие, каждая эпоха владеет каким-то своим полем деятельности для высокоталантливого человека. Пифагор был математиком, врачом, музыкантом, моралистом, мм политиком.  От Пифагора до Канта почти все философы были математиками. Р. Декарт занимался философией, музыкой, фехтованием, астрономией, физикой, математикой.

Гаусс был в поисках между математикой и филологией. Леонардо да Винчи казалось, что тайны и глубины мира могут быть воплощены только в живописи, в 18ст. считали, что только в музыке, в 19ст. – только в литературе, в 20ст. – только в науке. Однако есть универсальные люди, способные проявить свой талант сразу в нескольких сферах.

 

МАТЕМАТИКА И МУЗЫКА

Английский математик Д. Сильвестр писал:» Музыка-математика чувств, а математика-музыка разума». Впервые математически описал звук Пифагор. Его целиком можно назвать прадедом акустики.

Пифагор мыслил приблизительно так: целая струна звучит как» до», половина- «ре», треть- «ми», четверть- «фа». Конечно на современную гамму это не похоже, Пифагор пошел далее. Его октава стала выражаться так:

 

          1     1/2      1/3      1/4     1/5    1/6     1/8     1/16

        До     ре       ми       фа   соль    ля       си       до

Потом он ввел еще несколько дополнительных звуков (бемоли, диезы в современном понимании). Прослушав интервалы, выявилось, что лучше всех звучит квинта (ее соотношение 2:3), и вывел формулу ряда звуков.

Математика помогает мастеру создавать музыкальные инструменты.

Простейшая сопилка делается так: на половине длины сверлят дырочку = «до», на трети – «ре», на четверти – «ми».

А колокольчики. Возраст старейших валдайских колокольчиков неизменных спутников Пушкина в дороге,200 лет. Когда они появились впервые, неизвестно. Но их изображения есть уже на картинах 16ст.

Сначала они качались всем корпусом, а потом стали тяжелеть: мастера сделали их неподвижными, а раскачивался только язычок. Как можно достичь того чтобы звон имел красивый звук и тот же тон, независимо от того, маленькие они или большие? В конце70-х годов в Москве раскрыли секрет красивого звука. Колокол должен содержать 81,94% меди,17,21% олова,0,035% серы. Также вычислили, что в основе формы колокола лежит равнобедренный треугольник со сторонами, которые составляют золотую пропорцию. Есть даже целая наука о колоколах, и называется она компанология.

В понимании Пифагора каждая планета звучит в космосе, как какая-то нота. Например, Солнце – «до», Луна – «фа». Его взгляды разделял                 И. Кеплер, который видел в мироздании оркестр Солнечной системы, которое неслышно для человека исполняет вселенскую симфонию. Можно сказать, что сейчас фантазия Кеплера реализовалась в пульсарах

(космические источники радио-,оптического, рентгеновского,

гамма-излучений, приходящих на Землю в виде периодически повторяющихся всплесков) – пять из них неожиданно звучат аккордом.

Пульсары – нейтронные звезды, которые быстро вращаются и блеск которых периодически меняется. В 1987 году открыли миллисекундные пульсары. Их частота соответствует музыкальным звукам в пределах клавиатуры рояля.

Пульсар 1937+21 поет ми-бемоль второй октавы, а пульсар 1953+29 – ми малой октавы.

 

 

                         ИТОГИ КОНФЕРЕНЦИИ

Учитель. Подбивая итоги нашей конференции, хочется сказать словами Льва Болеславского:

                     Спеша из дома лесом любоваться,

                     Дыша цветами, думаю одно,

                     Что в каждом есть незримое богатство,

                     Но нами не измерено оно.

                     Я слышал песнь турбины и ракеты,

                     И грай грачей, и соло соловья,

                     И, раз в моей душе осталось это,

                    Каким богатством обладаю я!

Так пусть все то, что вы услышали сегодня, останется в вашей памяти, чтобы в нужный момент помочь осознать, составить, проанализировать и сделать нужный вывод.

Будьте всесторонне образованы, и пусть языком истины для каждого из вас будет математика. Ведь математика учит честности, формирует умение отличать доказанное от догадки, способствует пониманию различных фактов и понятий. Ее интересует не цель, а способы.

Поэтому польза от математики – награда за честность.

 

Презентация.

/uploads/33500/33412/section/668439/MATEMATIKA_I_ISKUSSTVO.ppt?1514921081074

 

 

Автор: Глушакова М.И.

glushakova-school29.edusev.ru

ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ЖИВОПИСИ

ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ЖИВОПИСИ

Дятел Ольга Ивановна 1

1Нижегородская область, Володарский район, п. Мулино, МАОУ "Гимназия 1"

Текст работы размещён без изображений и формул.Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

…Я больше всего дорожу аналогиями,

моими верными учителями .Они знают

все секреты природы, и ими меньше всего

следует пренебрегать.

Ян Кеплер

ВВЕДЕНИЕ

Наука и искусство – два основных начала в человеческой культуре, две дополняющие друг друга формы высшей творческой деятельности человека. В истории человечества были времена, когда эти начала дружно уживались, а были времена , когда они противоборствовали. Но видимо высшая их цель – быть взаимодополняющими гранями человеческой культуры, потому что даже в самой сердцевине науки есть элемент искусства, а всякое искусство несѐт в себе частицу научной мудрости.

В 90 – е годы прошлого века начали говорить о необходимости сочетать серьезное естественно-научное и техническое образование с гуманитарным. Сейчас все большую популярность завоевывает такая, на первый взгляд, парадоксальная идея: лучшее усвоение знаковой информации, которую несет математика, происходит при помощи лучшего усвоения образной информации – музыки, поэзии, живописи.

Цель исследования – рассмотреть математико-гуманитарные и геометрические аналогии. Доказать, что математика и жиовпись тесно связаны.

Задачи исследования:

1. Изучить учебную, методическую, энциклопедическую литературу.

2. Определить сущность аналогии и ее виды.

3. Провести свое исследование по установлению связи между живописью и математикой.

4. Выделить признаки сравниваемых объектов, находящихся во взаимной зависимости, как в живописи, так и в математике.

Объект исследования – некоторые образцы живописного творчества.

Предмет исследования – математика живопись.

Методы исследования: анализ учебной, методической, энциклопедической, научно-популярной литературы; сравнительный анализ, выявление аналогий.

Рассмотрев понятие «аналогия», мы выявили для себя гипотезу:

1. между математикой и живописью существуют аналогии;

В результате своего исследования мы постараемся подтвердить либо опровергнуть данную гипотезу.

К теме аналогий часто обращаются философы, например, В.Беляев, который в структуре аналогии выделяет тему и фору. «Чтоб произошла аналогия, тема и фора должны относится к разным предметным областям, иначе аналогия уступит место рассуждению с помощью примера и иллюстрации», - утверждает философ и сравнивает аналогию с метафорой по размытости символов и объектов, которым соответствуют эти символы. Найденные в гуманитарных областях знания аналогии математических объектов также довольно приблизительны, размыты, отдалены, поэтому, взяв во внимание сравнение В.Беляева, будем называть их литературными метафорами математики. Мы решили провести целенаправленную работу по установлению аналогий, выбрав в поля их поиска разнообразные литературные произведения всевозможных жанров, включая фольклорные.

«В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надѐжно использовано на практике без помощи и вмешательства математики» Ф.Бэкон

Глава 1 Математика и живопись

Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже использование перспективы. Однако, есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Несколько значительных фигур в изобразительном искусстве проложили дорогу этим индивидуумам.

Голландский художник М.К. Эшер в некотором роде является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ. Большинство идей, часто используемых современными математическими художниками, были использованы Эшером, и его работы часто являются источником вдохновения для современных авторов.

Эшер 1898- 1972гг

Глава 1.1 Общие темы в математическом искусстве

Темы наиболее часто использующиеся в математическом изобразительном искусстве включают в себя использование многогранников, тесселляций, лент Мебиуса, невозможных фигур, фракталов, золотое сечение и искаженных перспектив. Отдельные работы часто включают в себя одновременно несколько тем.

Многогранники

Многогранник - это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона или Платоновы тела. Также существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника, и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда. Кроме этого существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. Эшер использовал многогранники во многих своих работах, включая "Рептилии", "Двойной планетоид" и "Гравитация".

Мауриц Эшер «Рептилии». На альбомной странице мы видим мозаику из плоских ящериц, которые прилегают друг к другу, не оставляя свободного места. Это — картина плоского мира: ящерицы, живущие на странице, знают только эту страницу, окружающее же пространство для них неведомо. Одна из этих ящериц нашла способ выбраться из своей плоскости и посетить наш мир. Мы видим её внизу листа, постепенно обретающую плотность, взбирающуюся на книгу, использующую угольник в качестве моста, ведущего к выступу в форме додекаэдра, прежде чем спуститься вниз и вернуться в свой плоский мир, но уже впитав новый опыт, словно учёный, который только что открыл новый континент.

Тесселляции

Тесселляции, известные также как покрытие плоскости плитками, являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселляции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодные для использования в правильных тесселляциях. Это - правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Полуправильными тесселляциями называют такие тесселляции, в которых использованы правильные многоугольники двух или трех типов и все вершины одинаковы. Существует всего 8 полуправильных тесселляций. Вместе три правильных тесселляции и восемь полуправильных носят название Архимедовых. Тесселляции, в которых отдельные плитки являются узнаваемыми фигурами, являются одной из основных тем творчества Эшера. В его записных книгах содержатся более 130 вариантов тесселляций. Он использовал их в огромном количестве своих картин, среди которых "День и ночь", серия картин "Предел круга", и знаменитые "Метаморфозы"

Холлистер Девид "Семь птиц". На этой картине изображены семь птиц, две из которых изображены в негативе на фоне ландшафта города Ахо в Аризоне. Последовательно уменьшающиеся фигуры птиц совмещаются друг с другом в виде фрактальной тесселляции. Хвостовые перья каждой птицы являются разделяют конструкцию напополам, отсекая примерно треть расстояния между кончиками крыльев. Каждая меньшая птица в свою очередь делит свою область аналогичным образом. Если этот процесс продолжать до бесконечности, получится набор точек, известный как множество Кантора или Канторова пыль.

Роберт Фатауэр "Фрактальные рыбы - сгруппированные группы". Сквозь иллюминатор видны волны, но при ближайшем рассмотрении видно, что волны являются на самом деле фрактальной тесселляцией, состоящей из рыб.

Невозможные фигуры

Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах "Бельведер", "Восхождение и спуск" и "Водопад". Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса.

Иштван Орос "Перекрестки". Репродукция гравюры по металлу. На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами.

Лента Мебиуса

Лента Мебиуса - это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один из концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Эшер изобразил ленту Мебиуса на работах "Всадники", "Лента Мебиуса II (Красные муравьи)" и "Узлы".

Мауриц Эшер «Узлы». Два зеркально симметричных узла, известных под названием «трилистник». Левый узел «сделан» из двух полосок, пересекающихся под прямым углом. Перед тем как концы такой крестообразной полоски были соединены, всю двойную полоску перекрутили на пол оборота. Большой узел, изображенный под двумя трилистниками, «выполнен» из ажурной трубки четырехугольного сечения, перекрученной на четверть оборота перед склеиванием ее концов.

Искаженные и необычные перспективы

Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область - анаморфноеискусство. Эшер использовал искаженную перспективу в нескольких своих работах "Наверху и внизу", "Дом лестниц" и "Картинная галерея" . Дик Термес использует шеститочечную перспективу для рисования сцен на сферах и многогранниках, как показано на примере ниже.

Дик Термес "Клетка для человека". Это разукрашенная сфера, в процессе создания которой использовалась шеститочечная перспектива. На ней изображения геометрическая структура в виде сетки, сквозь которую виден ландшафт. Три ветки проникают внутрь клетки, а также по ней ползают рептилии. В то время как одни изучают мир, другие обнаруживают себя, находящимися в клетке.

Слово анаморфный сформировано из двух греческих слов "ana" (снова) и «morthe» (форма). К анаморфным относятся изображения настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Такое зеркало иногда называют анаморфоскопом. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение "формируется снова" в узнаваемую картину. Европейские художники раннего Ренессанса были очарованы линейными анаморфными картинами, когда вытянутая картина становилась снова нормальной при обзоре под углом. Известный пример - картина Ханса Хольбейна "Послы", в которой изображен вытянутый череп. Картина может быть наклонена в верхней части лестницы так, что люди, поднимающиеся по лестнице будут напуганы изображением черепа. Анаморфные картины, для просмотра которых необходимы цилиндрические зеркала, были популярны в Европе и на Востоке в XVII-XVIII веках. Эшер не использовал в своей работе классические анаморфные зеркала, однако, в некоторых своих картинах он использовал сферические зеркала. Самая известная его работа в этом стиле "Рука с отражающей сферой". Пример ниже показывает классическое анаморфное изображение работы Иштвана Ороса.

Иштван Орос "Колодец". Картина "Колодец" полученая с гравюры по металлу. Работа была создана к столетию со дня рождения М.К. Эшера. Эшер писал об экскурсиях в математическое искусство, как он прогуливался по прекрасному саду, где ничто не повторяется. Ворота в левой части картины отделяют эшеровский математический сад, находящийся в мозге, от физического мира. В разбитом зеркале в правой части картины присутствует вид маленького городка Атрани на побережье Амалфи в Италии. Он изобразил этот город на второй и третьей картинах из серии "Метаморфозы". Если поместить цилиндрическое зеркало на место колодца, как это показано справа, то в нем, как по волшебству, появится лицо Эшера.

Фракталы

Фрактал - это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей. Ниже приведены примеры современных художников Кэри Митчелл и Роберта Фатауэра.

Кэри Митчелл "Будда" - компьютерная картина основанная на множестве Мандельброта, исследованного Бенуа Мандельбротом.

Роберт Фатауэр "Композиция кругов"- не является вычисляемым фракталом, однако может быть получен графически, упаковывая меньшие круги в больших.

Золотое сечение

Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

а : b = b : с или с : b = b : а.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина «Сосновая роща»

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника.

Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи «Джоконда»

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на «золотых треугольниках» (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

Золотой треугольник — это равнобедренный треугольник, в котором две боковые (равные) стороны находятся в золотой пропорции с основанием.

Математическое изобразительное искусство процветает сегодня, и многие художники создают картины в стиле Эшера и в своем собственном стиле. Эти художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и компьютерную графику. А наиболее популярными темами математического искусства остаются многогранники, тесселляции, невозможные фигуры, ленты Мебиуса, искаженные системы перспективы и фракталы.

Практическая часть

Я решила попробовать себя в теме тесселляции. Вернемся к теме «Тесселляции». Тесселляция-это покрытие плоскости плитками без наложений и пробелов.

Как образец я взяла работу Роберта Фатауэра «Фрактальные рыбы-сгруппированные рыбы», данная работа была близка мне по настроению, цветовой гамме и по исполнению картины. На мою неподлинную работу я потратила в порядке 5 часов. Работа выполнена акриловыми красками. И даже срисовать произведение Роберта Фатауэра оказалось очень сложно.

Порой, нам, обычным зрителям, может показаться чье-либо произвдение искусства простым и бессмысленным, но стоит окунуться в мир искусства и простое может показаться настолько сложным и интересным, что захочется его познать.

Заключение

Воздействие искусства на эмоции и чувства человека может быть усилено научным использованием правила. Наша гипотеза подтвердилась. Наблюдение за объектами позволило развиваться науке математике. Таким образом, наука и искусство находятся в постоянной взаимосвязи, наука помогает искусству.

Любит природа пропорций гармонию,

Всё, что растет и живет, размножаясь,

Вечным законам ее подчиняясь,

Смысла и формы рождает симфонию.

Именно это деление вечное –

Общего к большему, большего к меньшему-

Строит гармонию соотношений,

Природных явлений и божьих творений.

В этом секрет золотого сечения.

В этом сакральная тайна влечения

Меньшего к большему, большего к общему,

Твердой рукой неведомого зодчего.

( Д. Пономарева)

Литература

1. Ресурсы Интернета:

2. www.o-detstve.ru

3. www.vp-ch.ru

4. www.1september.ru

5. www.tarefer.ru

6. www.virartech.ru

7. http://n-shkola.ru/arch/54.html

8. http://rudocs.exdat.com/docs/index-17734.html

9. M. C. Escher - His Life and Complete Graphic Work, by F.H. Bool, J.R. Kist, J.L. Locher, and F. Wierda (Harry N. Abrams, New York, 1982).

10. The Magic Mirror of M. C. Escher, by Bruno Ernst (Ballantine Books, New York, 1976).

11. Visions of Symmetry - Notebooks, Periodic Drawings, and Related Works of M. C. Escher, by Doris Schattschneider (W.H. Freeman and Co., New York, 1990).

12. "Fractals and an Art for the Sake of Science," Benoit B. Madelbrot, in The Visual Mind, ed. by Michele Emmer (MIT Press, Cambridge, 1993).

Просмотров работы: 120

school-science.ru

Математика и научная картина мира.- DjVu

СОДЕРЖАНИЕ             Математика — язык иауки 3       Математика и реальный мир 21       Великое противостояние 77       От тайны к тайне 93       Список использованной и рекомендуемой литературы 111             НАУКА — СИЛА, ПРЕОБРАЗУЮЩАЯ МИР             Человек не может охватить = отразить отобразить природы всей, полностью...       он может лишь вечно приближаться к этому, создавая абстракции, понятия, законы, научную картину мира...       В И. Ленин             Человек — творческое существо. Смысл его бытия в том, чтобы непрерывно творить новое. Но для этого он должен столь же непрестанно познавать мир, открывать новые законы природы.       «Знание есть сила» — это положение, провозглашенное Френсисом Бэконом (1561 — 1626), одним из родоначальников науки нового времени, оказалось поразительно пророческим. За три с лишним века, которые прошли с того времени, человечество благодаря знаниям, науке достигло поразительных успехов. Наука приобрела огромное, ни с чем не сравнимое влияние на общество, коренным образом преобразовав условия его жизни.       Знание действйтельно оказалось силой, и притом весьма могущественной.       Но что такое научное знание и в силу каких особенностей оно способно оказывать столь мощное воздействие на жизнь людей?       Чтобы ответить на этот, далеко не простой вопрос, сопоставим науку с так называемым обыденным знанием.       Обыденное — его иногда называют также стихийно-эмпирическим — это такое знание, которым люди руководствуются в своем повседневном житейском обиходе. Это знание, хотя и не раскрывает глубинную сущность вещей, вполне достаточно для того, чтобы разумно решать вопросы, с которыми люди сталкиваются в своей повседневной жизни.       Однако возможности обыденного, стихийно-эмпирического знания при решении научных вопросов оказываются довольно ограниченными. Ф. Энгельс писал, что «...здравый человеческий рассудок, весьма почтенный спутник в четырех стенах своего домашнего обихо-       да, переживает самые удивительные приключения, лишь только он отважится выйти на широкий простор исследования» (Анти-Дюринг. — Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 21).       Поэтому .многие положения науки, оцениваемые с точки зрения обыденного знания, представляются необычными, диковинными, парадоксальными. Особенно наглядно это может быть проиллюстрировано примером из современной физики. Сегодня, пишет по этому поводу американский ученый Дж. Орир в своей книге «Популярная физика», мы сомневаемся даже в том, что 2 + 2 = 4 в применении к физическим явлениям (в чем нет сомнения у «здравого рассудка»). Например, если частица движется относительно некоторой инерциаль-ной системы отсчета со скоростью 20 млрд. см/с, а сама эта система отсчета движется по тому же направлению со скоростью 20 млрд. см/с относительно другой инер-циальной системы отсчета, то скорость частицы относительно второй системы отсчета равна не 40, а только 27,3млрд.3десь действует правило сложения скоростей, которое с точки зрения «здравого смысла» может показаться странным: результирующая скорость всегда будет меньше простой арифметической суммы ее составляющих. Если скорость мала по сравнению со скоростью света, то этот эффект все равно существует, хотя он и очень мал (потому мы и пренебрегаем им в повседневной практике, пользуясь обычным арифметическим правилом: 2 + 2 = 4).       Закон сложения скоростей был получен А. Эйнштейном в его теории относительности где с — скорость света.       Следователе то, что представляется естественным и понятным с точки зрения обыденного знания, оказывается совершенно иным с более глубокой, научной точки зрения, а обыденное знание оказывается недостаточным, а иногда даже и ложным.       И тем не менее сое же не следует относиться к обыденному знанию чересчур пренебрежительно. Нельзя забывать, что с его помощью добывается немало надежных сведений об окружающем-мире и что оно не отгорожено непроходимой пропастью от знания научного. Бо-       лее того, само научное знание выросло из повседневных наблюдений, из обыденного знания и поначалу не выходило за его пределы. На первых ступенях развития науки, когда еще не были разработаны специальные научные методы исследования, ученые опирались в своих представлениях на результаты непосредственных наблюдений.       Лишь с дальнейшим развитием знания была раскрыта несостоятельность этих ранних представлений и они были заменены взглядами, основанными на более глубоком изучении природы. Например, геоцентрическая система мира древнегреческого астронома Клавдия Птолемея, опиравшаяся на многочисленные астрономические наблюдения, сделанные его предшественниками (египетскими, вавилонскими и особенно греческими астрономами), в большой степени соответствовала непосредственным чувственным образам, которые может составить любой неискушенный наблюдатель. Эта система, хотя и удовлетворяла в течение ряда столетий многим практическим потребностям, оказалась непригодной, когда повысились требования к точности календаря и составлению навигационных карт.       Система Птолемея явно не соответствовала новым астрономическим данным, накопленным учеными. Как известно, это привело к тому, что она была заменена — не без длительного и упорного сопротивления со стороны церковников и в результате ряда драматических коллизий — гелиоцентрической системой Николая Коперника. Новая астрономическая система принципиально отличалась от геоцентрической. Она давала научное объяснение всем наблюдавшимся явлениям и позволила сделать немало важных предсказаний, хотя и противоречила обыденным представлениям, основанным на непосредственном восприятии. Истина лежала глубже, и она не усматривалас простым созерцанием.       Очень удачно изобразил эту ситуацию А. С. Пушкин в одном из своих поразительно ярких и глубоких философских стихотворений:       Движенья нет, сказал мудрец брадатый.       Другой смолчал и стал пред ним ходить,       Сильнее бы не мог он возлаздегь;       Хвалили все ответ замысловатый.       Но, господа, забавный случай сей       Другой иа память мне приводит:       Ведь каждый день пред нами солнце ходит.       Однако ж прав упрямый Галилей.       Да, действительно прав оказался Галилей, защищавший и развивавший систему Коперника, а не его противники — церковники, отстаивавшие библейские каноны и находившуюся в согласиии с ними идею геоцентризма.       Итак, следовательно, знание, основанное на непосредственных чувственных восприятиях, охватывает лишь сферу видимого, внешнего (сферу явлений) и не раскрывает в объектах внутренние существенные стороны и связи, которые определяют характер их поведения и развития. Получение обыденных знаний не носит систематического, организованного характера, основанного на применении определенной методики.       Научное исследование является целенаправленным. Его результаты выступают в виде системы понятий, законов, научных теорий. Говоря коротко, коренное отличие науки от обыденного (стихийно-эмпирического) знания состоит в том, что она носит систематический, последовательный характер, т. е. представляет собой знание, организованное в строгую систему, опирающуюся на научный метод. Такими научными системами являются, в частности, геометрия Евклида, классическая механика Ньютона, теория относительности Эйнштейна.       Важнейшими элементами, из которых строится научная система — наряду с фактами и понятиями, — являются научные законы. Благодаря познанию законов наука смогла перейти от описания явлений, собирания и систематизации фактов — этим она главным образом и занималась в XVII — XVIII вв. — к их объяснению и предсказанию новых законов и новых явлений. Что же такое научный закон и в чем его отличие от объективного закона природы?       В самой общей форме на этот вопрос можно ответить так. Законы науки являются отражением законов природы. Они открываются и формулируются учеными и, следовательно, представляют собой наши знания о законах природы.       Научные законы не выдумываются произвольно, не создаются учеными по их усмотрению или прихоти, хотя выдумка, фантазия изобретение играют в их создании немалую роль. Научные законы открываются. Это значит, что законы, которые действуют в природе, будучи обнаружены исследователем, истолковываются им и затем выражаются и формулируются с помощью       определенного языка, которым мы пользуемся в своей обыденной жизни, или искусственного, например математического, языка специальных обозначений.       Законы науки, таким образом, представляют собой как бы перевод объективных закономерностей природы па человеческий язык, или, иными словами, они являются моделями (преимущественно математическими) законов природы. Возьмем, к примеру, закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном:...       Его математическая формула представляет собой типичный пример научного закона. Она выражает существенную необходимую связь, состоящую в том, что иге тела в мире притягиваются друг к другу с силой, которая зависит от самих этих тел и расстояний между ними. В этом и состоит объективное содержание закона. Его субъективная форма — это его словесная или мате-магическая формулировка, выражающая связь между понятиями (сила, масса, расстояние), в которых наше сознание отражает объективные свойства вещей. Буквально то же можно сказать о любом другом научном законе (законе Бойля — Мариотта, законе Кулона, законе* Ома и т. д.).       Но поскольку научные законы — это не сами существенные связи, а лишь их отражение в нашем сознании, то правомерен вопрос: адекватны ли научные i лконы соответствующим объективным законам?       Действительно, раскрыть содержание того или иного об ьективного закона и сформировать соответствующий гму научный закон вовсе не просто. Ибо законы не 1сжат на поверхности и не могут быть обнаружены непосредственным наблюдением. Не случайно, например, Кеплер затратил на открытие законов движения планет всю свою сознательную жизнь; то же можно сказать о Фарадее и Максвелле, открывших и сформулировавших законы электромагнетизма, об Эйнштейне, Фудившемся многие годы над созданием теории относительности, и многих других ученых.       Природа, таким образом, не легко расстается со своими тайнами и ученым приходится затрачивать немалые усилия, чтобы их открыть. И это открытие обычно происходило не сразу, не до конца, а в форме неполного, приближенного, относительного знания. Лишь в дальнейшем, на каждой последующей ступени развития       науки, смысл и содержание объективного закона раскрывается все глубже и полнее, а формулировка соответствующего научного закона постепенно уточняется и становится все более адекватной отражаемому им объективному закону.       Это неполное соответствие между научным и объективным законами обусловлено прежде всего сложной структурой самой действительности. Существенные связи являются внутренними, глубокими и потому не могут быть постигнуты непосредственно. Кроме того, на каждой данной ступени развития науки познания, способы проникновения человеческого ума в сложную структуру реальности ограниченны, несовершенны. Но того, что не смогло постигнуть одно поколение людей в данную эпоху, постигнут последующие поколения на новых этапах научного развития. Постепенно несоответствие между научными законами и соответствующими законами природы становится все меньшим, а адекватность этих законов все более возрастает.       Проиллюстрируем это на примере закона всемирного тяготения.       Как известно, открытие этого закона Ньютоном было одним из величайших триумфов познания, выдающимся подвигом человеческого гения. Закон Ньютона хорошо соответствовал результатам наблюдений. И тем не менее некоторых фактов он объяснить не Мог. Не объяснял этот закон, в частности, смещения перигелия Меркурия (точки его орбиты, ближайшей к Солнцу).       Смысл этого явления состоял в следующем. Как известно, согласно первому закону Кеплера, планеты должны иметь эллиптические орбиты. Фактически же их перемещение происходит по более сложным кривым, так как движение планет возмущается влиянием соседних небесных тел. Для Меркурия, в частности, это возмущение проявляется особенно значительно в смещении его перигелия примерно на 540" за столетие (по отношению к неподвижным звездам). Если учесть влияние всех видимых известных планет, то для этого смещения получится величина порядка 500" за столетие. Различие в 40" за столетие между предсказанием, сделанным на основе закона тяготения Ньютона, и астрономическими наблюдениями казалось ученым необъяснимым, пока, наконец, его не объяснил А. Эйнштейн на основе разработанной им новой теории тяготения, вытекающей из общей теории относительности.       Нет сомнения, однако, что и эта теория — не окончательное слово науки. Ее дальнейший прогресс, дальнейшее усовершенствование научных, прежде всего математических, методов с неизбежностью приведет ученых к более совершенному, более полному познанию всемирного тяготения, к появлению более совершенной теории гравитации, описываемой, соответственно, более совершенной математической моделью.       Особенно важная роль в процессах создания научных законов и их систем — научных теорий принадлежит, как мы видим, методу математического моделирования. Именно с помощью этого метода производится определенная схематизация действительности, без которой не может быть осуществлено построение научной теории или закона.       Модель выступает как упрощенная ситуация того фрагмента изучаемой действительности, в котором выполняются принципы данной теории. Другими словами, математическая модель является промежуточным звеном между теорией и изучаемой реальностью. Она дает возможность перебросить мост от первой ко второй, позволяет наметить в основных чертах пути применения научной теории на практике и одновременно указывает способы ее экспериментальной проверки.       Возьмем в качестве примера такой теории систему аксиом евклидовой геометрии. Как известно, эта система представляет собой совокупность суждений относительно таких объектов, как точки, прямые и плоскости. Но в реальном мире таких объектов не существует.       Поэтому геометрию нельзя рассматривать как теорию, непосредственно описывающую действительность. Теоремы евклидовой геометрии строго выполняются лишь в отношении упомянутых выше идеализированных объектов. Эти идеализированные объекты (точки, прямые, плоскости) и отношения между ними (принадлежность, порядок, конгруэнтность, параллельность) и представляют собой теоретическую или идеальную модель евклидовой геометрии (теоретической системы), в которой выполняются все ее аксиомы. Между этой моделью евклидовой геометрии и определенной частью трехмерного объективного мира имеется соответствие. Следовательно, соответствие существует не между самой системой евклидовой геометрии, а между ее идеализированной моделью и объективным миром. В этом как раз и состоит смысл высказанного утверждения, что       модель выступает в качестве промежуточного звена хмежду теорией (в данном случае системой аксиом и теорем евклидовой геометрии) и реальностью.       Рассматривая этот пример в своей книге «Эволюция физики», А. Эйнштейн и Л. Инфельд пишут: «Смысл этого в том, что все логически доказанные положения евклидовой геометрии могут быть также подтверждены действительным экспериментом. С помощью твердых тел или световых лучей мы можем построить объекты, соответствующие идеализированным объектам евклидовой геометрии. Ребро линейки или световой луч соответствует прямой. Сумма углов треугольника, построенного из тонких жердей, равна 180°. Отношения радиусов двух концентрических окружностей, построенных из тонкой упругой проволоки, равно отношению длин окружностей. Истолкованная таким образом евклидова геометрия становится главой физики, хотя и очень простой ее главой».       Таким образом, интерпретированные с помощью геометрической модели утверждения евклидовой геометрии становятся физически содержательными, т. е. утверждениями о пространственных свойствах определенной части реального физического мира. Именно благодаря этому геометрические системы (в том числе и неевклидовы) могут подвергаться экспериментальной и практической проверке путем соответствующих измерений.       Итак, мы убедились, что открытие (построение) научного закона — это крайне сложный творческий процесс. Ученый — такой же творец нового, как поэт, композитор, ваятель. Без воображения, фантазии, без настоящего дерзания не может быть творческих исканий, необходимых для построения как эмпирических, так и теоретических законов.       Эмпирические законы выводятся из наблюдений и экспериментов. Однако и здесь необходима предварительная идея, догадка, гипотеза, построение моделей. История науки показывает, сколь большую роль сыграли научные гипотезы и построенные на их базе математические модели явлений. Вспомним хотя бы гипотезу строения Солнечной системы Коперника. Не менее выразительным примером является модель строения атома, предложенная Резерфордом. Эта модель исходила из гипотезы, что атом построен примерно так же, как и Солнечная система: вокруг ядра атома вращаются       электроны. Сама модель оказалась неудовлетворительной, и дальнейшее развитие науки ее отвергло. Но она повлекла за собой исследования, приведшие к современной атомной физике и к первым шагам на пути покорения таящейся в недрах атома энергии. В наиболее простых случаях ученый при отыскании эмпирических законов прибегает к методу проб и ошибок (как это делал, например, Кеплер при поиске законов движения планет Солнечной системы).       При поиске законов теоретическим методом ученый тоже отталкивается от фактов. Далее идет догадка, гипотеза, предположение о том, каким может быть и каким должен быть этот закон. После этого начинается сложная работа по построению ряда теоретических абстракций. На основе этих абстракций строится математическая модель — формула научного закона. Вначале закон выступает как гипотетическое построение, которое лишь позднее, будучи апробировано опытом, практикой, превращается в достоверное положение науки. Однако движение мысли на этом не прекращается. С усовершенствованием техники научного эксперимента и появлением новых фактических данных, научные законы дополняются и обобщаются.       Интересно отметить также еще одно важное свойство научных понятий, законов и теорий — их информативную емкость: они как бы сокращают множество фактов, с которыми пришлось бы оперировать, и, следовательно, делают наши рассуждения о них проще, экономнее, изящнее. В силу этого необходимым условием адекватности научного закона закону природы становится его простота. Вот почему проблеме простоты научных законов (теорий) и соответствующих матема тических моделей всегда уделяли и уделяют большое внимание. Идея простоты проходит красной нитью через всю историю естествознания. Эта идея играла руководящую роль в исследованиях Галилея, Ньютона, Лапласа, Планка, Максвелла, Эйнштейна и многих других ученых. В самом деле, разве не являются поразительно простыми (и поразительно изящными, красивыми) закон тяготения Ньютона — ... и многие другие законы науки.       Отметим, что философы и естествоиспытатели XVII — XVIII вв. обосновывали необходимость научной простоты ссылкой на простоту самой природы. Так, Галилей говорил, что «природа не делает многим то, что может сделать нескольким».       Ньютон видел основание правила простоты в том, что «природа сама проста и не роскошествует излишними причинами вещей». В таком же духе понимали простоту Декарт, Лейбниц, Максвелл и многие другие ученые и мыслители.       Такой подход долгое время казался оправданным, однако самой природе присущи не только простота, но и сложность, она не только экономна, но и расточительна. Поэтому речь должна идти не о простоте действительности, а о простоте выражения знаний об этой действительности. Простым должно быть отражение законов природы в нашем сознании. И научная теория тем более совершенна, чем большее число фактов она объясняет при минимуме исходных посылок, причем более простой следует считать общую теорию. Будучи более общей на данном этапе научного развития, такая теория дает возможность истолковать большее число эмпирических фактов и содержит при этом меньшее число исходных посылок по сравнению с любой частной теорией, с необходимостью вводящей всякого рода дополнительные допущения, значительно усложняющие ее практическое применение. Так, геоцентрическая система Птолемея при включении в нее ряда дополнительных положений могла бы объяснить движение планет ничуть не хуже системы Коперника. Однако преимущество и, следовательно, простота последней состоит в том, что для согласования с наблюдаемыми фактами она ограничилась меньшим (в сравнении с системой Птолемея) числом исходных допущений. Теория Коперника, таким образом, оказывается с этой точки зрения более простой (более совершенной и более изящной), а теория Птолемея — более сложной.       Сказанное, однако, не означает, что математический аппарат более «простой» теории является в то же время простым сам по себе. Это отнюдь не так.       Возьмем, к примеру, арифметическую задачу, которая решается путем очень трудоемких вычислений и за-путанных рассуждений. Арифметический путь, который ведет к решению задачи, сложен. Но та же задача может быть решена алгебраическим способом, путем составления соответствующего уравнения, решение которого для человека, знакомого с алгеброй, не составляет большого труда. Аппарат алгебраической теории сложнее арифметического, однако решение задачи с помощью этого более сложного теоретического аппарата значительно проще. Простота здесь достигается через сложность.       Или другой пример. Общеизвестно, что таблицы логарифмов значительно облегчают сложные математические вычисления. Те же вычисления потребовали бы колоссального труда, если бы производились на основе выполнения арифметических действий.       Но теория логарифмов, конечно, сложнее арифметики. И здесь простота достигается через сложность. Более общая теория, обладающая минимумом знакомых средств (и, следовательно, информативно более емкая), дает возможность решать с помощью своего более сложного математического аппарата большее количество задач и объяснить большее количество фактов, причем решать более простым путем, нежели эти же задачи решает менее общая частная теория.       Разъясняя смысл, вкладываемый в понятие сложной простоты, Эйнштейн в книге «Физика и реальность» писал, что «теория производит тем большее впечатление, чем проще ее предпосылки, чем разнообразнее предметы, которые она связывает, и чем шире область ее применения». Но широта предпосылок теории и той предметной области, которую она истолковывает, отнюдь не означает, что эту теорию просто и легко применять. Парадоксальность «сложной простоты» в том как раз и состоит, что более простая (и более общая) теория обладает более сложным и более громоздким математическим аппаратом. Простое в одном отношении оказывается сложным в другом. «Чем проще и фундаментальнее становятся наши допущения, — пишет Эйнштейн в книге «Физика и реальность», — тем сложнее математическое орудие нашего рассуждения, тем длиннее, тоньше и сложнее становится путь от теории к фактам. Современная физика проще, чем старая, но именно поэтому она кажется более трудной и запу-       тайной». «Все очень сложно, — говорит современный американский физик Р. Фейнман в книге «Характер физических законов». — Простота достигается через сложность». Эту мысль Фейнман удачно разъяснил на примере закона всемирного тяготения Ньютона: «Поразительнее всего, что закон тяготения прост. Его легко сформулировать так, чтобы не оставалось никаких лазеек для двусмысленности и для иного толкования... Он прост по форме. Я не говорю, что он действует просто: движение разных планет, их взаимные влияния могут быть очень запутанными, и определить, как движется каждая звезда в шаровом скоплении, не в наших силах. Он действует сложно, но его коренная идея проста. Это роднит все наши законы. Сами по себе они оказываются простыми, хотя в природе действуют сложным образом». К этому надо добавить, что более общий, более сложный и более абстрактный закон (или теория) всегда оказывается информационно более емким, нежели закон (теория) более простой и частный, так как емкость знания тем больше, чем в меньшем количестве знаковых средств (например, математических символов) удается его выразить.       Заметим также, что всякая более общая теория, удовлетворяющая критерию «сложной простоты», является в то же время и более изящной, удовлетворяющей эстетическому чувству ученого, которое играет отнюдь не последнюю роль в научных изысканиях. В этом смысле теория Коперника красивее теории Птолемея, теория относительности Эйнштейна красивее теории Ньютона и т. д. Не говоря уже о красоте и изяществе уравнений Максвелла, по поводу которых Г. Герц в работе «Об отношении между светом и электричеством» в порыве восторга написал такую.вдохновенную фразу: «Изучая эту чудесную теорию, нельзя не почувствовать, что ее математическим формулам присуща самостоятельная жизнь и собственное сознание, что они умнее нас, умнее даже своего создателя, что они дают нам больше, чем в них было заложено вначале».       Не случайно в современной литературе много говорится о том, что в числе побудительных мотивов, движущих учеными в их творчестве, значительную роль играет стремление к красоте и изяществу. Не оставляет сомнения, что, например, для Птолемея, Коперника, Кеплера, Эйнштейна красота и гармония математических зависимостей служили не только эвристическими       средствами познания, но и сильнейшими источниками творческого вдохновения.       Из сказанного выше следует, что если на объяснение тех или иных материальных явлений и процессов претендует несколько математических моделей, то следует выбрать из них наиболее простую, т. е. такую, которая, опираясь на минимальное число исходных допущений, способна объяснить более широкий круг явлений, нежели какая-либо другая. Ибо «большая степень обобщения и большая простота, — как удачно заметил современный английский математик и педагог У. Сойер в книге «Прелюдия к математике», — неотделимы друг от друга...». Более общие модели, будучи в то же время и более простыми, позволяют не только объяснить огромную массу эмпирического материала, относящегося к определеннойиредметной области материального мира, но и выразить ее при этом предельно экономно, компактно, сжато.       В этом смысле теория относительности, например, как более общая, является в то же время и более простой, нежели классическая механика, ибо дает возможность без всяких дополнительных допущений объяснить такие явления, которые классическая физика без таких допущений не объясняет.       Совершенно очевидно также, что потенциально более общая математическая модель является в то же время и информативно более емкой, несущей в малом объеме знаковых средств наибольшее количество информации.       Итак, метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к мате матическим задачам, т. е. анализу математических моделей, занимает ведущее место среди других методов исследования и неотделим от общего процесса изучения человечеством явлений окружающего мира.       Отметим, что расширение области применения математики в научном познании является общей закономерностью развития. Эта закономерность существовала и проявлялась всегда, в течение всей истории человеческой цивилизации.       Подлинный смысл взаимосвязей математики с другими областями науки, связей, ведущих к взаимному обогащению их содержания, раскрыл В. И. Ленин, когда отметил, что каждый крупный успех естествознания означает вместе с тем приближение к таким       однородным и простым элементам материи, законы движения которых допускают математическую обработку (Материализм и эмпириокритицизм. — Поли. собр. соч., т. 18, с. 326), т. е., что он порождает новые продвижения по пути математизации знания.       И все же само понятие «математизация науки, научного знания» возникло лишь в наши дни как отражение процесса расширяющегося использования математических методов и моделей.       Структура математики особенно изменилась за последние 20 — 30 лет. Появились и получили существенное развитие многие новые области: большая группа дисциплин, объединяемых математической кибернетикой, многочисленные разделы, вычислительной математики и математического обеспечения быстродействующих вычислительных устройств, исследование операций, теория оптимального управления и др. Повысилась роль математической логики. В теории алгебраических и дифференциальных уравнений приближенные методы решения заняли гораздо большее, чем прежде, место.       Главной причиной столь глубоких, коренных изменений в составе и содержании математики явилось проникновение математических методов исследования в другие области научного знания. Это проникновение в последние несколько десятилетий сделалось, особенно широким и стремительным. При этом речь идет не о простых вычислительных или измерительных операциях, сопровождающих практически любое научное исследование, но о сравнительно сложном математическом аппарате, нередко создаваемом в процессе этого проникновения.       Ряд областей приложения математики за этот весьма краткий исторический период настолько разросся, что образовал самостоятельные научные дисциплины. К математической физике, сформировавшейся в первой половине XIX в., присоединились: математическая биология, математическая экономика, математическая лингвистика и многие другие. Возможности решения научных и научно-практических задач в результате приложения математических методов неизменно возрастали. Возрастал и поток требований к самой математике.       Таким образом, процесс математизации научного знания неотделим от общего процесса научно-технической революции, является его органической частью.       Термин «научно-техническая революция» обозначает огромную область изменений в развитии материального производства, техники, науки, и социальных отношений в современном человеческом обществе. Истоки научно-технической революции лежат в качественном скачке, в познании и использовании законов природы. Этот скачок настолько значителен, что создает все предпосылки для превращения науки в производительную силу общества. Реализация этого превращения производит переворот в системе производительных сил и реорганизует систему производственных отношений.       Современное материальное производство сделалось очень сложным, основу техники во всевозрастающей степени начинают составлять автоматические устройства. Машинное производство, при котором рабочий непосредственно участвует в технологическом процессе, выполняет некоторые операции, уступает место производству автоматизированному. Народное хозяйство в целом и такие, например, области техники, как космонавтика, ракетная техника, средства защиты от внезапного нападения, в том числе ядерного, предъявляют исключительно высокие требования в части надежности и точности функционирования как технических устройств, так и операторов.       При достаточно высоком уровне автоматизации системы автоматических устройств снабжаются счетнорешающими, контролирующими и управляющими устройствами. Процессы, определяющие коренные изменения производительных сил, происходят на основе достижений науки и, в частности, математики. Без серьезных математических усилий и достижений обойтись оказалось невозможно. Дальшейший прогресс техники, организация связи, управляющих функций в общественной жизни ставят настолько сложные задачи, что их решение стало возможным в сильной (в ряде случаев решающей) степени зависеть от возможности их математизировать.       Итак, основной причиной математизации знания являются процессы и запросы материального производства. Внутри науки (в плане, наиболее близком к математике) эти требования отражаются в том, что науке приходится перерабатывать большой и всевозрастающий объем информации. Поиск самого эффективного способа обработки и осмысливания экспериментально добываемой и наблюдаемой информации производится       на основе разработки общих понятий, складывающихся в абстрактные системы, логические построения. Последние и служат исходным материалом для создания математических моделей.       В заключение отметим, что характеристика сущности математизации знаний не может быть полной без учета социального аспекта этой проблемы. Дело в том, что техническая перестройка материального производства, составляющая основу научно-технического прогресса, изменяет место человека в этом производстве и его общественную роль. По существу, роль человека может быть резко повышена, поскольку автоматизация освобождает его от исполнения механической, однообразной работы. К тому же превращение науки в производительную силу воплощается не только в технических усовершенствованиях, но и в более высоком уровне научной и технической подготовленности (в том числе математической) самих рабочих.       Ход научно-технической революции и математизация знаний в капиталистических странах испытывают неблагоприятное влияние антагонистических общественных отношений. При социализме прогресс техники и науки, осуществляемый при органическом соединении достижений научно-технической революции с преимуществами социалистической системы общественных отношений, является основным путем и средством создания материально-технической базы коммунизма. Математизации знаний принадлежит в этом немалая роль.       В Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981 — 1985 годы и на период до 1990 года указывается, что следует сосредоточить усилия на решении следующих важнейших проблем, посвященных развитию науки и ускорению технического прогресса:       «развитие математической теории, повышение ее эффективности в прикладных целях;       повышение качества, надежности, экономичности и производительности, уменьшение шума и вибрации машин, оборудования и других изделий машиностроения, снижение их материалоемкости и энергопотребления;       совершенствование вычислительной техники, ее элементной базы и математической обеспечения, средств и систем сбора, передачи и обработки информации...».       Таким образом, первоочередные задачи, поставленные перед математиками, имеют важное значение для развития народного хозяйства нашей страны. Творческие усилия математиков, наряду с разработкой теоретических проблем, должны быть сосредоточены на решении ключевых народнохозяйственных задач, на открытиях, способных внести действительно революционные преобразования в производство.

sheba.spb.ru

Сайт Кисловой Натальи Николаевны - Математика в изобразительном искусстве

МБОУ «Ковылкинская средняя общеобразовательная школа №2»

 

 

 

Математика в изобразительном искусстве

 

 

 

 

Выполнила: Косолапова Ксения Александровна

ученица 8 А класса

                     Учитель: Кислова Наталья Николаевна

 

 

 

 

 

 

 Ковылкино-2013г.

1.Введение

Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности, например, при необходимости изображения  трехмерного пространства на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства. Однако, есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Я расскажу о нескольких  значительных фигурах  в изобразительном искусстве, которые проложили дорогу новым взглядам искусствоведов.

Вообще-то не существует каких-либо правил или ограничений на использование различных тем в математическом изобразительном  искусстве. Однако, есть несколько тем, которые достаточно часто различают художники. Среди них есть использование многогранников, тесселяций, невозможных фигур, лент Мебиуса, искаженных или необычных систем , а также фракталов.

Голландский художник Мауриц  Корнелис Эшер  (1898-1972) в некотором роде является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ. Большинство идей, часто используемых современными математическими художниками, были использованы Эшером, и его работы часто являются источником вдохновения для современных авторов.

Леонардо да Винчи (1452-1519) известен своими достижениями в качестве изобретателя и художника. В его записных книгах содержатся первые из известных примеров искусства, использующего искаженные сетки. Его наклонные изображения представляют объекты, которые должны рассматриваться под углом, чтобы они выглядели неискаженными

Иоганн Кеплер (1580-1630) более известен своими работами в астрономии, но также имел большой интерес к геометрическим тесселяциям и многогранникам. В своей книге он опубликовал примеры заполнения плоскости плитками в виде правильных и звездчатых многоугольников в дополнение к многогранникам, о которых было сказано выше. А также его интересовало «Золотое сечение».

Коломан Мозер (1868-1918) - художник-график, преподававший в Вене и работавший в стиле модернизма. Он исполнил пару тесселляций в виде рыб в период 1899-1900 гг., выглядящие вполне в стиле Эшера. Однако, несомненно, Эшер не мог знать о работах Мозера вплоть до 1964 года.

Некоторые известнейшие художники XX века активно использовали математику в искусстве. Пит Мондриан  (1872-1944) - голландский художник, известный своими геометрическими абстракциями. Сальвадор Дали  (1904-1989) - яркий и парадоксальный испанский художник использовал математические идеи в некоторых своих картинах. На картине "Распятие"  (1954) изображен гиперкуб. Макс Биль (1908-1994) - художник-график и скульптор, обучавшийся в Баухаузе , создавал скульптуры, основанные на ленте Мебиуса, многие из которых выставлены в общественных местах.

Темы наиболее часто использующиеся в математическом изобразительном искусстве включают в себя использование многогранников, тесселляций, лент Мебиуса, невозможных фигур, фракталов и искаженных перспектив. Отдельные работы часто включают в себя одновременно несколько тем. Каждая из этих тем приведена ниже с описанием и примерами использования.

Тесселляции

Тесселляции, известные также как покрытие плоскости плитками, являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселляции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодные для использования в правильных тесселляциях. Это - правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Полуправильными тесселляциями называют такие тесселляции, в которых использованы правильные многоугольники двух или трех типов и все вершины одинаковы. Существует всего 8 полуправильных тесселляций. Вместе три правильных тесселляции и восемь полуправильных носят название Архимедовых. Тесселляции, в которых отдельные плитки являются узнаваемыми фигурами, являются одной из основных тем творчества Эшера. В его записных книгах содержатся более 130 вариантов тесселляций. Он использовал их в огромном количестве своих картин, среди которых "День и ночь" (1938), серия картин "Предел круга" I-IV, и знаменитые "Метаморфозы" I-III (1937-1968). Примеры ниже - картины современных авторов Холлистера Девида и Роберта Фатауэра (приложение 1 и 2). На  картине Холлистера Девида изображены семь птиц, две из которых изображены в негативе на фоне ландшафта города Ахо в Аризоне. Последовательно уменьшающиеся фигуры птиц совмещаются друг с другом в виде фрактальной тесселляции. Хвостовые перья каждой птицы являются разделяют конструкцию напополам, отсекая примерно треть расстояния между кончиками крыльев. Каждая меньшая птица в свою очередь делит свою область аналогичным образом. Если этот процесс продолжать до бесконечности, получится набор точек, известный как множество Кантора или Канторова пыль.

Роберт Фатауэр "Фрактальные рыбы - сгруппированные группы". Это компьютерная работа, распечатанная на фотобумаге. Сквозь иллюминатор видны волны, но при ближайшем рассмотрении видно, что волны являются на самом деле фрактальной тесселляцией, состоящей из рыб.

Невозможные фигуры

Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. М. К. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах "Бельведер" (1958), "Восхождение и спуск"(1960) и "Водопад" (1961) (приложение 3). Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса "Перекрестки" (1999) (приложение 4). Репродукция гравюры по металлу. На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами.

 

Многогранники

Многогранник - это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона или Платоновы тела. Также существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника, и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда. Кроме этого существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. М. К. Эшер использовал многогранники во многих своих работах, включая "Рептилии" (1949) (приложение 5). Впервые работа была напечатана в марте 1943 года.

На ней изображен стол, с расположенными на нем предметами и рисунком рептилий собранных в виде мозаики. Рептилии оживают, ползают по кругу по предметам расположенным на столе и в конечном итоге возвращаются обратно в плоский рисунок. На столе расположены обычные предметы — книги (та, по которой ползёт рептилия — учебник по зоологии), посуда, горшок с цветами, среди них выделяется металлический додекаэдр на который рептилии поднимаются. Ящерицы маленького размера, но не кажутся безобидными, имеют настоящие клыки. Одна из рептилий, сидящая на грани додекаэдра, выпускает пар из ноздрей.

Лента Мебиуса

Лента Мебиуса - это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один из концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер  был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — «Лист Мёбиуса II» показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса. (приложение 6). Эшер изобразил ленту Мебиуса на работах "Всадники" (1946)  и "Узлы" (1965).

 Фракталы

Фрактал - это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом.  К сожалению, фракталы как таковые были недоступны Эшеру, потому что были формализованы и выделены в отдельную область математики лишь после его смерти. Эшер очень интересовался изображением бесконечного в пределах конечной области, в частности бесконечными тесселляциями. Ниже приведены примеры современных художников Кэри Митчелл  (приложение 7) и Роберта Фатауэра (приложение 8).

Искаженные и необычные картины

Искаженные картины – это картины, где сцены из жизни изображены на сферах и многогранниках. Примером тому служит картина Дика Термеса «Клетка для человека» (приложение 9). На ней изображена геометрическая структура в виде сетки, сквозь которую виден ландшафт. Три ветки проникают внутрь клетки, а также по ней ползают рептилии. В то время как одни изучают мир, другие обнаруживают себя, находящимися в клетке.

Некоторые картины настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно.  Если смотреть в такое зеркало, то изображение "формируется снова" в узнаваемую картину. Европейские художники раннего Ренессанса были очарованы такими картинами, когда вытянутая картина становилась снова нормальной при обзоре под углом.

Для просмотра некоторых таких необычных картин были необходимы цилиндрические зеркала, которые были популярны в Европе и на Востоке в XVII-XVIII веках.

Примером может служить работа Иштвана Ороса "Колодец" (1998)(приложение 10). Работа была создана к столетию со дня рождения М.К. Эшера. Эшер писал об экскурсиях в математическое искусство, как о прогулках по прекрасному саду, где ничто не повторяется. Ворота в левой части картины отделяют эшеровский математический сад, находящийся в мозге, от физического мира. В разбитом зеркале в правой части картины присутствует вид маленького городка Атрани  на побережье Амалфи в Италии. Эшер любил это место и прожил там некоторое время. Он изобразил этот город на второй и третьей картинах из серии "Метаморфозы". Если поместить цилиндрическое зеркало на место колодца, как это показано справа, то в нем, как по волшебству, появится лицо Эшера.

 

 Золотое сечение

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и "Золотым сечением". О теореме Пифагора слышал каждый школьник, а о "Золотом сечении" - далеко не все.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей.

 

Древнейшим литературным памятником, в котором встречается "Золотое сечение", являются "Начала" Евклида (3 в. до н. э.). Известно, что о золотом сечении знали Пифагор и его ученики (6 в. до н. э.). Как следствие многочисленных применений золотого сечения как в геометрии, так и в искусстве в эпоху Возрождения появилась книга "Божественная пропорция", а сам термин был введен Леонардо да Винчи в 15 веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля и других.

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”. Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX века. Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всем на свете”. Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный образец зеркального письма. Портрет Монны Лизы (Джоконды) (приложение 11) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на «золотых треугольниках», являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников,  скульпторов и архитекторов.  В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались,  чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой  пропорции.

Заключение                                                 

Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современного искусства и искусства древних времен. Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие творческие направления деятельности человека, как музыка, живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться. В своей работе я постаралась это показать и считаю, что моя работа дает более широкие представления о математике и ее использовании в разных областях деятельности человека и отвечает на вопрос: «Зачем изучать математику?» Представленные мною материалы будут интересны многим учащимся и покажут математику с новой стороны, с которой они ее еще ни разу не видели.

Скачать презентацию

 

 

kislovanataliyn.moy.su

Математика и живопись | Социальная сеть работников образования

Слайд 1

Автор: Бобылева Кристина Андреевна Bobyleva Kristina Andreevna Руководитель: Качурина Татьяна Владимировна [email protected] (8- 908-016-33-85 ) 662546, Россия, Красноярский край, г . Лесосибирск МБОУ «Основная школа №5» ул. 40 лет Октября, 12 +7 (39145) 3-43-83 Красноярский край, город Лесосибирск, [email protected] «Математика и живопись»

Слайд 2

Математика и живопись Бобылева Кристина Андреевна Руководитель: Качурина Татьяна Владимировна

Слайд 3

Введение Геометризм, кубизм, беспредметничество или другими словами – супрематизм, абстракционизм – это такие направления в живописи, которые сводились к изображению геометрических фигур и всевозможных линий. В наше время мотивы такой живописи часто используются современными дизайнерами при оформлении помещений. Выполняя данную работу я познакомилась с творчеством некоторых представителей данного течения в живописи, каждый их которых по своему является его основоположником, это К.Малевич и В. Кандинский . Помимо выше названных представителей супрематизма, познакомилась с необычным творчеством голландского художника Морица Корнилиса Эшера . Он создал уникальные и очаровательные работы, в которых использован и показан широкий круг математических идей. В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии.

Слайд 4

Супрематизм и абстракционизм Супрематизм - художественное течение, основу которого составляет композиция из простейших геометрических элементов. Абстракционизм как направление в искусстве XX в. является высшим проявлением беспредметного изображения.

Слайд 5

Основоположником супрематизма был К. Малевич. Казимир Малевич 1878 - 1935 Его знаменитая картина «Черный квадрат», как олицетворение трагизма «немоты», стала своеобразным манифестом этого направления.

Слайд 6

Затем совершается переход от статического этапа Черного квадрата к динамическим формам. Его квадраты распадаются на целое созвездие форм. « Беспредметная живопись» сама становится художественным предметом. Супрематизм зиждется на чисто живописном восприятии реальности. Здесь всё можно объяснить рассудочному сознанию, всё конструировать, всё машинизировать и математически обсчитать.

Слайд 7

Василий Васильевич Кандинский, русский художник , который стоял у истоков возникновения абстракционизма в современном изобразительном искусстве. Абстрагирование - один из основных способов нашего мышления. Его результат - образование наиболее общих понятий и суждений (абстракций). В декоративном искусстве абстрагирование - это процесс стилизации природных форм. Василий Кандинский 1866 - 1944

Слайд 8

Эстетическую программу абстракционизма он изложил в книге «О духовном в искусстве». Абстракционизм был призван акцентировать внимание на самостоятельной выразительности цвета: его колористическом богатстве. С другой стороны, он тесным образом был связан с супрематизмом , ибо развивался по пути создания новых вариантов художественного пространства путем сочетания всевозможных геометрических форм, цветных плоскостей, прямых и ломаных линий («геометризм»).

Слайд 9

Творчество Эшера раньше других оценили представители естественных наук, математики и психологи. Считается, что его следует рассматривать в контексте теории относительности Эйнштейна, фрейдовского психоанализа, кубизма и тому подобных открытий в области соотношений пространства, времени и их тождественности, в гравюре Рептилии плоское изображение ящериц чудесным образом наполняется объемом, они словно выползают за пределы рисунка. Мауриц Корнелис Эшер 1898 - 1972

Слайд 10

В гравюре "Рептилии" маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах.

Слайд 11

Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники.

Слайд 12

Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал: В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим?

Слайд 13

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Слайд 14

Имя гениального мыслителя – Леонардо да Винчи – невозможно обойти молчанием. В построении пропорций человека Леонардо да Винчи исходит прежде всего из анализа многочисленных измерений самого человека, из его анатомии. Свои исследования Леонардо да Винчи не успел (а может, и не хотел) систематизировать, и они остались рассыпанными в виде рукописных набросков, в которых говорится буквально обо всем на свете.

Слайд 15

«Если ты раздвинешь ноги настолько, что убавишься в росте на 1/14, и если ты тогда разведешь руки и поднимешь их так, что коснешься средними пальцами макушки головы, то ты должен знать, что центром круга, описанного концами вытянутых членов, будет пупок и что пространство между ногами образует равносторонний треугольник А пролет распростертых рук человека равен его росту».

Слайд 16

Золотой треугольник Одно из замечательных свойств такого треугольника состоит в том, что длины биссектрис углов при его основании равны длине самого основания. Леонардо да Винчи использовал «золотой треугольник» в композиции своей знаменитой «Джоконды»

Слайд 17

Заключение Для многих мир математики – это только задачи, формулы, перпендикуляры, треугольники… (как говорят: скучная и сухая наука). Но для некоторых этот мир кажется красочным, ярким, удивительным и загадочным, поэтому им удалось самим удивить мир людей и их имена вошли в историю, хотя не все их понимали. Малевич, Кандинский, Эшер , Леонардо да Винчи - нельзя сравнивать их искусство, оно разное, но они видели удивительное и красивое там, где многие этого не замечают. Как бы с укором в адрес математиков звучат слова Эшера- человека, как он считал, далекого от математики: «Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней...». Может быть стоит приоткрыть эту дверь и заглянуть за нее, чтобы мир находящийся за ней смог удивить нас, поразить своей красотой и необычностью, пробудить интерес к бесконечности неизведанного в математике, удивительные тайны которой скрыты не только за вереницами формул…

Слайд 18

Литература Волошинов А.В. – Математика и искусство. Москва «ПРОСВЯЩЕНИЕ» 2000г. Ресурсы интернета: www.coolreferat.com / Картина_Мона_Лиза http://mcesher.ru http://www.wassilykandinsky.ru

nsportal.ru

---

Смотрите также

• 
  Мебель картина
• 
  Картина мебель
• Картина здоровья
• 
  Арка картина
• 
  Картина ожидания
• 
  Лампа картина
• 
  Картины гончаровой
• 
  Генриха картина
• 
  Гончаровой картины
• 
  Пляж картины
• 
  Картина радужная