Музей ЧерномырдинаОписание картины Маурица Эшера «Рептилии». Картина эшера
Математическое искусство Морица Эшера: imit_omsu
Литография "Рука с зеркальной сферой", автопортрет.Мауриц Корнелиус Эшер -- известный каждому математику голландский художник-график.Для сюжетов произведений Эшера характерно остроумное осмысление логических и пластических парадоксов.Известен, в первую очередь, работами, в которых он использовал разные математические концепции -- от предела и ленты Мебиуса до геометрии Лобачевского.
Ксилография "Красные муравьи".
Специального математического образования Мауриц Эшер не получал. Но с самого начала творческой карьеры интересовался свойствами пространства, изучал его неожиданные стороны.
"Узы единства".
Зачастую баловался Эшер с сочетаниями 2-мерного и 3-мерного мира.
Литография "Рисующие руки".
Литография "Рептилии".
Замощения.
Замощением называют разбиение плоскости на одинаковые фигуры. Для изучения такого рода разбиений традиционно используют понятие группа симметрий. Представим себе плоскость, на которой нарисовано некоторое замощение. Плоскость можно вращать вокруг произвольной оси и сдвигать. Сдвиг определяется вектором сдвига, а поворот -- центром и углом. Такие преобразования называются движениями. Говорят, что то или иное движение -- симметрия, если после него замощение переходит в себя.
Рассмотрим для примера плоскость, разбитую на одинаковые квадраты -- бесконечный во все стороны лист тетради в клетку. Если такую плоскость повернуть на 90 градусов (180, 270 или 360 градусов) вокруг центра любого квадрата, замощение перейдет в себя. Также оно переходит в себя при сдвиге на вектор, параллельный одной из сторон квадратов. Длина вектора при этом должна быть кратна стороне квадрата.
В 1924 году геометр Джордж Полиа (до переезда в США Дьердь Пойа) опубликовал работу, посвященную группам симметрий замощений, в которой доказал замечательный факт (правда, уже обнаруженный в 1891 году российским математиком Евграфом Федоровым, а позже благополучно забытый): существует всего 17 групп симметрий, в состав которых входят сдвиги как минимум в двух разных направлениях. В 1936-м Эшер, заинтересовавшись мавританскими орнаментами (с геометрической точки зрения, вариант замощения), прочитал работу Полиа. Несмотря на то, что всей математики, стоящей за работой, он, по его собственному признанию, не понял, Эшер сумел ухватить ее геометрическую суть. В результате на основе всех 17 групп Эшер создал более 40 работ.
Мозаика.
Ксилография "День и ночь".
Ксилография "Небо и вода".
Замощения. Группа-то простая, породающие: скользящая симметрия и параллельный перенос. А вот плитки замощения -- чудесные. И в сочетании с Лентой Мёбиуса это все.
Ксилография "Всадники".
Еще одна вариация на тему плоского и объемного мира и замощений.
Литография "Волшебное зеркало".
Эшер дружил с физиком Роджером Пенроузом. В свободное от физики время Пенроуз занимался тем, что решал математические головоломки. Однажды ему пришла в голову такая идея: если вообразить замощение, состоящее более чем из одной фигуры, будет ли его группа симметрий отличаться от описанных у Полиа? Как оказалось, ответ на этот вопрос утвердительный — так на свет появилась мозаика Пенроуза. В 1980-х выяснилось, что она связана с квазикристаллами (Нобелевская премия по химии 2011 года).
Однако Эшер не успел (а, может, и не захотел) использовать в работе эту мозаику. (Но есть совершенно чудесная мозаика Пенроуза "Куры Пенроуза", их нарисовал не Эшер.)
Плоскость Лобачевского.
Пятым в списке аксиом в «Началах» Евклида в реконструкции Гейберга значится такое утверждение: если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. В современной литературе предпочитают эквивалентную и более изящную формулировку: через точку, не лежащую на прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Но даже в такой формулировке аксиома, в отличие от остальных постулатов Евклида, выглядит громоздко и запутанно -- именно поэтому на протяжении двух тысяч лет ученые пытались вывести это утверждение из остальных аксиом. То есть, фактически, превратить постулат в теорему.
В XIX веке математик Николай Лобачевский попытался сделать это от противного: он предположил, что постулат неверен, и попытался обнаружить противоречие. Но его не нашлось -- и в результате Лобачевский построил новую геометрию. В ней через точку, не лежащую на прямой, проходит бесконечное множество различных прямых, не пересекающихся с данной. Лобачевский был не первым, кто обнаружил эту новую геометрию. Но он был первым, кто решился заявить о ней публично -- за что, разумеется, его подняли на смех.
Посмертное признание работ Лобачевского состоялось, среди прочего, благодаря появлению моделей его геометрии -- систем объектов на обычной евклидовой плоскости, которые удовлетворяли всем аксиомам Евклида, за исключением пятого постулата. Одна из этих моделей была предложена математиком и физиком Анри Пуанкаре в 1882 году -- для нужд функционального и комплексного анализа.
Пусть есть круг, границу которого назовем абсолютом. «Точками» в нашей модели будут внутренние точки круга. Роль «прямых» исполняют окружности или прямые, перпендикулярные абсолюту (точнее, их дуги, попавшие внутрь круга). То, что для таких «прямых» не выполняется пятый постулат, практически очевидно. То, что для этих объектов выполнены остальные постулаты -- очевидно чуть менее, однако, это так и есть.
Оказывается, в модели Пуанкаре можно определить расстояние между точками. Для вычисления длины требуется понятие римановой метрики. Ее свойства таковы: чем ближе пара точек «прямой» к абсолюту, тем больше расстояние между ними. Также между «прямыми» определены углы -- это углы между касательными в точке пересечения «прямых».
Теперь вернемся к замощениям. Как они будут выглядеть, если разбить на одинаковые правильные многоугольники (то есть многоугольники со всеми равными сторонами и углами) уже модель Пуанкаре? Например, многоугольники должны становиться тем меньше, чем ближе они располагаются к абсолюту. Эта идея и была реализована Эшером в серии работ «Предел-круг». Впрочем, голландец использовал не правильные разбиения, но их более симметричные версии. Тот случай, где красота оказалась важнее математической точности.
Ксилография "Предел -- круг II".
Ксилография "Предел -- круг III".
Ксилография "Рай и ад".
Невозможные фигуры.
Невозможными фигурами принято называть особые оптические иллюзии — они как будто являются изображением некоторого трехмерного объекта на плоскости. Но при внимательном рассмотрении в их строении обнаруживаются геометрические противоречия. Невозможные фигуры интересны не только математикам — ими занимаются и психологи, и специалисты по дизайну.
Прадедушка невозможных фигур -- так называемый куб Некера, привычное всем изображение куба на плоскости. Оно было предложено шведским кристаллографом Луисом Некером в 1832 году. Особенность этого изображения в том, что его можно интерпретировать разным образом. Например, угол, обозначенный на этом рисунке красным кругом, может быть как ближним к нам из всех углов куба, так и, наоборот, самым дальним.
Первые настоящие невозможные фигуры как таковые были созданы другим шведским ученым Оскаром Рутерсвардом в 1930-х. В частности, он придумал собрать из кубиков треугольник, который не может существовать в природе. Независимо от Рутерсварда уже упоминавшийся Роджер Пенроуз вместе со своим отцом Лайонелом Пенроузом опубликовали в журнале British Journal of Psychology работу под названием «Невозможные объекты: Особый тип оптических иллюзий» (1956). В ней Пенроузы предложили два таких объекта -- треугольник Пенроуза (цельную версию конструкции Рутерсварда из кубов) и лестницу Пенроуза. Вдохновителем своей работы они назвали Маурица Эшера.
Оба объекта -- и треугольник, и лестница -- позже появились и в картинах Эшера.
Литография "Относительность".
Литография "Водопад".
Литография "Бельведер".
Литография "Восхождение и спуск".
Другие работы с математическим смыслом:
Звездчатые многоугольники:
Ксилография "Звезды".
Литография "Кубическое деление пространства".
Литография "Поверхность, покрытая рябью".
Литография "Три мира"
На основе этого обзора, материалов Википедии и книжки М.Гарднера "Математические новеллы" (глава 11).
imit-omsu.livejournal.com
Эшер - геометрия и искусство
Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Мариусу закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов 20 века он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Впервые его восторженными поклонниками стали математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования. Он, как и некоторые из его великих предшественников (Микеланджело, Леонардо да Винчи ) был левшой.В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами». Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства. Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» – это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик – регулярными, которые образуют повторяющиеся узоры, и нерегулярными (неповторяющиеся узоры), а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него «богатейшим источником вдохновения». Не случайно первыми поклонниками искусства Эшера стали математики. Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал: «В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически… Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней».Мариус Корнелис Эшер умер в 1972 году. Он оставил потомкам 448 литографий и гравюр более 2000 картин и набросков. В честь Эшера назван астероид, открытый в 1940 году.
geometry-and-art.ru
Описание картины Маурица Эшера «Рептилии»
Мауриц Корнелис Эшер – график, известный в первую очередь своими литографиями и гравюрами. Его работы направлены в основном на психологическое исследование трехмерных объектов. Большое значение уделял понятиям искажения пространства, бесконечности и симметрии. С помощью светотени создавал оптические иллюзии. Мауриц был младшим из пяти сыновей, в детстве много болел, и из-за этого даже не смог получить аттестат зрелости.
Художник с юных лет сознательно учился на гравера, а не на художника маслом. Его привлекала возможность создания большого числа оттисков в противовес единственному экземпляру живописной картины. Эшер – знаменитый создатель иллюстрации к эффекту "лестницы Пенроуза" (картина "Вверх и вниз"). Впервые занялся рисованием фракталов (в его версии они были навеяны мавританским искусством, мозаикой). Ввел понятие "невозможные фигуры". Вообще, мозаике в своем творчестве Мауриц Корнелис уделял большое внимание. Многие работы Эшера впоследствии неоднократно воспроизводились другими художниками. Сегодня его творчество изучается не только как художественный феномен, но и в контексте теории относительности и психоанализа. Для понимания картин художника требуется некоторая сосредоточенность и наблюдательность.
На гравюре "Рептилии" миниатюрные крокодильчики играючи выползают из мозаичного рисунка, становятся трехмерными, начинают короткий цикл жизни, проходя небольшой круг, преодолевая препятствия – чтобы в финале снова вернуться на плоскость и превратиться в неживые двухмерные объекты. Одно из животных – некое фантастическое производное дракона, оно выпускает пар из ноздрей. Мир Эшера удивителен – изображенное на плоском листе бумаги, третье измерение возникает и снова исчезает на глазах у удивленного зрителя. Форма рептилий – как ящериц, так и крокодилов, – завораживала художника, он обращался к ней неоднократно, даже использовал в мозаиках. На сегодняшний день существует много вариантов гравюры "Рептилии" – у фанатов творчества художника популярны яркие, раскрашенные варианты.
opisanie-kartin.com
Философия Эшера / Культура / iFAQ
Можно ли совместить живопись, философию и математику? Ответ, казалось бы, очевиден. Что общего может быть у этих совершенно разных, на первый взгляд областей? Однако, общее всё-так есть — это творческое начало, присутствующее во всех этих областях. Неискушённому человеку может показаться странным, что в философии, а, тем более, математике можно найти творческое начало. Однако как ни странно, сами математики имеют совсем другое мнение на этот счёт. Вот, например, как отзывалась о математике известная женщина-математик Софья Ковалевская: «Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе». Вторит ей и выдающийся немецкий математик Карл Вейрштрасс: «Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком». А вот, что сказал о математике сам король поэзии Пушкин: «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии». О том, что философия присутствует практически во всех произведениях искусства, думаю, тоже никому не надо доказывать.Прекрасным примером того, как можно объединить все эти три области в одном, служит замечательный голландский художник и график Мауриц Эшер. Картины Эшера могут показаться кому-то довольно странными или даже нелепыми, но, всматриваясь в них, можно заметить, что за всеми ними стоит какая-то философия. Вот, например, одна из самых простых картин Эшера «3 мира». 
Казалось бы, художник просто изобразил осеннее озеро. Но не наводит ли это изображение на мысль о трёх мирах, сосуществующих одновременно в одном месте и не пересекающихся между собой? Разве не бывает так же в жизни, что несколько разных миров могут сосуществовать одновременно в одном месте и не замечать друг друга? Мир богатых и бедных, мир романтики и обыденности, мир любви и эгоизма… Интересно, а какие миры подразумевал Мауриц на своей картине и почему их три? Или, может быть, это просто красивое изображение осеннего озера? Но тогда почему картина называется «3 мира»?
Многие работы Эшера имеют в своей основе чёткую математическую закономерность. Например, на картине «Картинная галерея» все линии искривляются по строгим математическим законам. Сама картина наводит на философские размышления. Оказывается, картинная галерея находится в здании, изображённом на одной из картин этой галереи. Идеи рекурсии присутствуют и в других работах Эшера, например, на картине «Рисующие руки». Каждая рука на ней рисует другую руку, при этом сама являясь рисунком этой другой руки. Не являются ли подобные картины плодами размышлений Эшера об относительности роли творца и творения? Бог создал человека или человек Бога? По мнению верующего, Бог создал человека, по мнению атеиста — человек Бога. Но есть ли хоть один верующий, который ни разу бы не усомнился в своей вере и есть ли хоть один атеист, который ни разу не поверил хотя бы чуть-чуть?
Одним из циклов картин, тоже написанных по строго математическим законам, являются круги. Одной из самых известных таких картин является «Предел – круг 4 (рай и ад)». На картине изображены ангелы и демоны, причём демоны служат, как бы, фоном для ангелов и наоборот. В центре изображены три крупных ангела и три демона, а к периферии количество ангелов и демонов начинает увеличиваться, а сами они — уменьшаться. Кроме достаточно банальной идеи о том, что зло — это, всего лишь, тень добра тут можно уловить и другие мысли. Например, что добро и зло в нашей жизни дробится на множество мелочей, да так, что мы и сами перестаём отличать одно от другого.
У Эшера есть множество парадоксальных картин. На этих картинах изображены невозможные вещи: водопад, который сам себя питает; лестница, по которой можно подниматься или опускаться бесконечно, ходя по кругу; колонны, расположенные невозможным образом… Но и в этих картинах при желании можно найти скрытый смысл. Например, картина «Поднимаясь и опускаясь» наводит на мысли о людях, которые всё своё время тратят на достижение каких-то высот в бизнесе, политике, карьере..., пытаясь заработать как можно больше денег, чтобы потом их как можно скорее потратить, но при этом не замечают, что ходят по кругу и жизнь их не меняется к лучшему, поскольку все свои силы они тратят не на радость и наслаждение самой жизнью, а на то, чтобы подняться ещё выше по этой бесконечной лестнице.
Любовь к геометрии у Эшера проявляется на многих работах в изображении правильных геометрических форм — тетраэдров, додекаэдров, звёздчатых додекаэдров, сфер. Причём, формы эти обычно символизируют красоту, порядок, гармоничность… Об этих картинах можно рассказывать бесконечно. На одном из сайтов, популяризующих математику мне встретилось довольно подробное и глубокое описание картины Эшера «Рептилии». «Вообще, в этой картине заключено множество философских подтекстов...». А сколько ещё философских подтекстов можно найти на других картинах Эшера? Думаю, что каждый, кого заинтересовало творчество этого человека может самостоятельно ознакомиться с ним на множестве сайтов в Интернете, посвящённых этому замечательному художнику. Главное, что меня восхищает в его творчестве — любовь к красоте и гармонии не делает для него границ между искусством, математикой и философией.
ifaq.su
Описание картины Маурица Эшера «Относительность»
Эшер в данном полотне, мастерски использует прием, который называется тесселяцией. Благодаря этому приему мастер очень искусно разделяет одну плоскость на несколько частей. Таким образом, ему удается покрыть все полотно плоскостями, которые сами по себе не пересекаются и не накладываются одна на другую. Все было сделано идеально, благодаря тому, что художник изучал математические приемы посвященные симметриям, на основе этого и были созданы геометрические фигуры, которые являлись какими-то живыми существами.
Данные графические работы удивляли своими необыкновенными формами и хитросплетениями разных геометрических фигур. Мы можем наблюдать некоторые парадоксы, когда архитектурные сооружения изображаются в трехмерном пространстве.
С первого взгляда зритель может увидеть, что все фигуры идеально между собой сочетаются, но это только на первый взгляд, если более внимательно присмотреться, то на некоторых местах соприкосновения можно увидеть противоречивые соединения.
Вообще картина задумана художником для того, чтобы показать некий мир, который может существовать в противовес всем известным законам физики и гравитации. Благодаря такому тонкому чутью этого вопроса и взаимодействия пространства, художник сумел мастерски выполнить эту композицию, которая впоследствии сделала его всемирно известным и общепризнанным мастером.
Некоторый зритель наблюдая эту картину длительное время, может несколько утомиться, это и не мудрено, так как даже самые известные критики говорили о том, что все работы мастера являются слишком интеллектуальными, и обыденный зритель будет утомлен в осмысливании любого полотна художника. Несмотря на это картины очень популярны и в современном мире.
opisanie-kartin.com
Математическое искусство М. К. Эшера
О математике и формах.
Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.
Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.
В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами». Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.
 Эскиз из Альгамбры |
Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» — это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик — регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры) — а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.
Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него «богатейшим источником вдохновения». Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал:
В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически… Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.
Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шести-направленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.
В гравюре «Рептилии» маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. В «Эволюции 1» можно проследить развитие искажения квадратной мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц.
 Четыре правильных многогранника |
Правильные геометрические тела — многогранники — имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это — тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре «Четыре тела» Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.
 Порядок и хаос |
Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции — это окно, которое отражается левой верхней части сферы.
 Звезды |
Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра «Звезды», на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.
 Три пересекающиеся плоскости |
Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография «Три пересекающиеся плоскости» — хороший пример для начала обзора таких картин. Этот пример демонстрирует интерес художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках. Как будет ниже, Эшер позже использовал данный принцип для создания изумительных визуальных эффектов.
 Предел круга III |
Под влиянием рисунков в книге математика Х. Коксетера Эшер создал много иллюстраций гиперболического пространства. Один из примеров можно увидеть в работе «Предел круга III». Здесь представлен один из двух видов неевклидового пространства, описанных французским математиком Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения от центра круга к его границе ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине. Таким образом путь, который вам надо будет пройти до границы круга будет казаться вам бесконечным. На самом деле, находясь в таком простарнстве вы на первый взгляд не заметите ничего необычного в нем по сравнению с обычным евклидовым пространством. Например, чтобы достичь границ евклидового пространства вам также необходимо пройти бесконечный путь. Однако, если внимательно присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединенными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников. Странное место, не правда ли?
 Змеи |
 Лист мебиуса II |
Еще более странное пространство показано в работе «Змеи». Здесь пространство уходит в бесконечность в обе стороны — и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами. Если вы попадете в такое пространство, на что оно будет похоже?
Кроме особенностей евклидовой и неевклидовой геометрий Эшера интересовали визуальные аспекты топологии. Топология изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например, растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация — это к разрыву. Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если вы проследите путь муравьев на литографии «Лента Мебиуса II», то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем. Как вы думаете, что случится, если разрезать лист Мебиуса вдоль?
 |
Другая интересная литография назавается «Картинная галерея», в которой изменены одновременно и топология и логика пространства. Мы видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в магазине — картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город … стоп! Что-то не так…
  |
Для понимания любой картины Эшера требуется внимание и наблюдательность, а эта работа требует особого внимания. Каким-то образом Эшер завернуть пространство в кольцо, и получилось, что мальчик находится одновременно внутри картины и вне ее. Секрет этого эффекта состоит в том, каким образом преобразовано изображение. Понять это можно, анализируя карандашный набросок сетки, которым пользовался Эшер при создании картины. Обратите внимание, что расстояние между линиями сетки увеличивается в направлении движения стрелки часов. Заметим еще, на чем основана хитрость картины — белое пятно в центре. Математики называют это пятно особым местом или особой точкой, где пространства не существует. Не существует способа изобразить этот участок картины без швов или наложений, поэтому Эшер решил эту проблему, поместив в центр картины свой автограф.
 Куб с полосками |
Под «логикой» пространства мы понимаем те отношения между физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые еще оптическими иллюзиями. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.
 Cверху и cнизу |
Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемый особенностей логики пространства — игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии «Куб с полосками» выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине.
 |
Еще один из аспектов логики пространства — перспектива. На рисунках, в которых присутствует эффект перспективы, выделяют так называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства. Изучение особенностей перспективы началось еще во времена возрождения художниками Альберти, Дизаргом и многими другими. Их наблюдения и выводы легли в основу современной геометрии проекций.
Вводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в зависимости от того, как зритель смотрит на картину. На картине «Cверху и cнизу» художник разместил сразу пять точек исчезновения — по углам картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции.
 |
 Водопад |
Третий тип картин с нарушенной логикой пространства — это «невозможные фигуры». Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная работа — литография «Водопад» — основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии. (Примечание. Обратите внимание на многогранники, установленные на башнях водопада.)
Самовоспроизведение и информация
 Рисующие руки |
В заключение мы рассмотрим аспекты творчества Эшера, относящиеся к теории информации и искусственному интеллекту. Эта область творчества художника широко освещена во многих статьях и книгах. Наиболее полное исследование этого вопроса освещено в книге Дугласа Хофстадтера (Douglas R. Hofstadter) «Гёдель, Эшер, Бах: Бесконечная золотая нить» (Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid), выпущенной в 1980 году и награжденной пулитцеровской премией.
 Рыбы и чешуйки |
Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Литографии «Рисующие руки» и «Рыбы и чешуйки» используют эту идею разными способами. Самовоспроизведение является направленным действием. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы. В работе «Рыбы и чешуйки» концепция самовоспроизведения представлена более функционально, и в данном случае она может быть названа самоподобием. В этом смысле данная работа описывает не только рыб, а все живые организмы, в том числе и человека. Конечно, мы не состоит из уменьшенных копий самих себя, но каждая клетка нашего тела несет в себе информацию обо всем теле в виде ДНК.
 Три сферы II |
Углубляясь в изучение самовоспроизведения, можно его обнаружить в отражении и пересечении отражений реального мира. Такое пересечение встречается во многих картинах Эшера. Мы рассмотрим лишь один пример — литографию «Три сферы», на которой присутствуют три шаровидных тела, сделанных из разных материалов с различной отражающей способностью. Эти сферы отражают друг друга и художника, и комнату, в которой он работает, и лист бумаги, на котором он рисует сферы. Хофстадтер в своей книге написал «… каждая частица мира содержит в себе весь мир и содержится к во всех других частицах мира…».
Таким образом, мы заканчиваем тем же, с чего начали, — автопортретом художника — его отражением в своей работе.
Мы рассмотрели лишь небольшую часть работ из сотен набросков и литографий и гравюр, оставшихся после смерти Эшера в 1972 году. Еще многое будет сказано и уже сказано о значении и важности его работ. С каждым годом появляется все больше и больше книг, где освещается творчество художника, анализируются различные аспекты его творчества. Надеемся, что мы заинтересовали вас творчеством Эшера.
Англоязычный источник статьи можно найти
http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/
Перевод Влада Алексеева.
Спирали
 Спирали |
 Водовороты |
Странно, но в оригинальной работе обошли вниманием целый класс фигур, которые достаточно часто встречаются в работах Эшера. Это закрученные в спирали фигуры. В работе «Спирали» мы видим четыре закручивающиеся в спираль полоски, которые постоянно сближаются и постепенно закручиваются сами в себя, образуя своеобразный тор. Пройдя целый круг, спираль заходит внутрь самой себя, образуя тем самым, как бы, спираль второго порядка — спираль в спирали.
В работе «Водовороты» Эшер объединил спиралевидную форму и свой излюбленный художественный прием — регулярное разбиение плоскости (или мозаику). Здесь рыбы,выплыв из одного водоворота, попадают во второй и, погружась в него, постепенно уменьшаются в размерах и наконец совсем исчезают. Обратите внимание на постепенно уменьшающуюся в размерах мозаику. Если мысленно развернуть спираль, то мы увидим лишь два ряда рыб, плывущих навстречу друг другу. Но скрученные в спираль и соответствующим образом деформированные образы рыб полностью покрывают некоторую область бесконечной плоскости.
 Сферические спирали |
Иной способ представления спирали использован в работе «Сферические спирали», где четыре полосы расположены на поверхности шара, проходя от одного полюса шара к другому. Похожий путь может пройти самолет, летящий с северного полюса земного шара на южный.
Здесь мы привели основные виды спиралей, использованных Эшером в своих работах. Различные их модификации можно обнаружить и на многих других литографиях художника.
Заключение 2
Использование Эшером различных математических фигур и законов не ограничивается лишь вышеприведенными примерами. Внимательно изучая его картины, можно обнаружить и другие, не упомянутые в данной статье, геометрические тела или визуальную интерпретацию математических законов.
Закончить хотелось бы картиной «Узлы», изображающей замкнутые фигуры, которые нельзя отнести к какому-либо разделу данной статьи.
 Узлы |
Влад Алексеев
mcesher.ru
Фрактальная живопись Эшера. - evelyn_apple
взято отсюда http://ngasanova.livejournal.com/11400.html
Эшер Мориц (1898 - 1971) Escher Maurits Cornelis
Мечтатели, сибиллы и пророки,Дорогами, запретными для мысли,Проникли - вне сознания – далеко,Туда, где светят царственные числа.
Валерий Брюсов
Мориц Корнелис Эшер, единственный в своем роде художник, работавший не столько с образами, сколько с понятиями.Возможно, вы никогда не слышали этого имени, а возможно уже успели перепутать его с последним отпрыском дома Эшеров - героем рассказа Эдгара По. Если да, то ваше заблуждение по своему символично, потому что художник Эшер не менее загадочен, чем его литературный однофамилец. Но в любом случае, вы обязательно видели его картины. Гравюры, с изображением замкнутой лестницы, идущей все время вверх, дома с невероятно переплетенными колоннами, мозаики, или как их называют - паркеты из повторяющихся фигур людей, животных или монстров - все это надо увидеть.Скупые строки биографии. Родился в 1898 году в Голландии. Учеба в школе архитектуры и орнамента в Гарлеме. Учителя, заметившие и оценившие большие способности юноши в графике. Десятилетнее пребывание в Риме. Затем в Швейцарии, Бельгии и, наконец, в голландском городе Барне. И в рамках этой неяркой внешними событиями жизни — драматическая история напряженных творческих поисков.
Его литографии , гравюры на дереве, меццо-тинто можно увидеть в кабинетах математиков и других ученых всего мира. Некоторые его работы носят жутковатый, сюрреалистический оттенок, но произведения Эшера - это не фантасмагория Сальвадора Дали или Рене Маргитта, а тонкие философские и математические наблюдения.Творчество этого художника возбудило большой интерес со стороны математиков и физиков. В его графике оказались заложенными глубокие принципы симметрии, которые были известны лишь кристаллографам. Оказалось, что многие работы Эшера могут быть проанализированы математическими методами. Так в свое время были проанализированы и изданы паркеты Эшера, обсуждавшиеся на всемирном съезде кристаллографов.Но есть немногие творцы, создавшие настолько необычный стиль или направление мысли, что ими можно восхищаться, их ценить или отвергать, но им не удается следовать. Таковы диалоги Платона, таков лист Мебиуса, такова гравюра Дюрера «Носорог». Вероятно, творчество Эшера — среди произведений такого уровня.Искусство предлагает воспользоваться аллегорией, метафорой, обратившись к чувству. Наука — попытаться «убрать все лишнее», иметь дело с абстракцией, моделью, символом. Художник использует обе возможности.. Мы должны играть, создавая миры, в которых от нашего «настоящего», слишком сложного и запутанного, взято совсем немного.Пожалуй, именно в этой подчеркнутой условности, умении выделить немногое, парадоксальности создаваемых миров, в кажущейся легкости и произвольности и состоит очарование работ Эшера.Симметрии Эшера оказались более богатыми, чем симметрия кристаллов. В ряде работ, описанных в книге Эрнста, реализовались симметрии плоскости Пуанкаре, модели релятивистского пространства скоростей. Переплетение искусства графики и математической теории симметрии в той форме, а которой оно представлено Эшером, явление уникальное, но еще малоизвестное нашему читателю.Симметрия не единственная отличительная черта графики Эшера. Вторая, не менее важная черта, – это глубокие по своим математическим и физиологическим корням исследования принципов перспективы. Трехмерное отображение двумерного чертежа в мозгу человека оказывается очень сложным и далеко не до конца понятым процессомВот, что говорил сам Эшер о своем творчестве:"Все мои произведения - это игры. Серьезные игры. Все что я делаю это игpа. Я пpосто пытаюсь сложить маленьких звеpушек вместе - я не нахожу, что это легко, но я получаю невеpоятное удовольствие находя способ соединить их. Меня забавляют все вопpосы котоpые возникают когда я pаботаю. Эти вопpосы дpазнят меня и мое самое большое удовольствие - это понять о чем они, а затем найти ответы на них. Потом я делаю оттиск, чтобы дpугие смогли pазделить мою pадость. Вы называете Это математикой?..".
АВТОПОРТРЕТ
Его автопортрет, созданный в конце жизни, так же парадоксален, как и остальные картины. По-моему, творец здесь похож на свои произведения. Точные детали создают странную гармонию целого. Наверно, сам того не желая, Мориц Эшер оставил здесь свидетельство не только своего внешнего облика и стиля, но и своего характера"Линию Урана мы встречали сравнительно редко,так как она наблюдается только у людей,обладающих кроме хороших умственных способностейеще особо чувствительной душевной восприимчивостью,так называемой интуицией."В. А. Вреде.
РЕПТИЛИИ
Маленькое чудовище выползает из шестиугольной мозаики, чтобы начать краткий цикл трехмерного бытия. Достигнув Высшей точки,- достигнув додекаэдр, рептилия вновь возвращается в безжизненную плоскость.Важно не терять «времен связующую нить» и уметь вернуть созданных драконов в плоскость листа. И опять иметь дело с теоретическими возможностями, а не с опасными реалиями.
ДЕНЬ И НОЧЬ
Правая и левая част композиции не только зеркально симметричны, но и как бы служат своеобразными негативами одна другой. По мере того как наш взгляд перемещается снизу вверх квадраты полей превращаются в белых птиц летящих в ночь, и в черных птиц летащих на фоне светлого дневного неба.Среди солнца и света рождаются образы тьмы. Или, напротив, лучи света, рождающиеся на границе темного царства? Нет четкой грани. Одна субстанция проникает в другую. Свет и тьма, порядок и хаос. Порядок и хаос оказываются неразрывно связаны. Хаос на одних масштабах может порождать упорядоченность на других и, напротив, хаос в некоторых своих проявлениях выступает как сверхсложная организация.Попробуем определить границу, на которой кончается день и начинается ночь, где черные лебеди превращаются в белых. Эта граница оказывается в разных местах в зависимости от того, рассматриваем мы картину слева направо или справа налево. Психологи называют этот эффект бистабильностью восприятия. Этот эффект используется в ряде психологических тестов. Художник и психологи играют в похожие игры
"Предел круга III"
Здесь представлен один из двух видов неевклидового пространства, описанных французским математиком Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения от центра круга к его границе ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине. Таким образом путь, который вам надо будет пройти до границы круга будет казаться вам бесконечным. На самом деле, находясь в таком простарнстве вы на первый взгляд не заметите ничего необычного в нем по сравнению с обычным евклидовым пространством. Например, чтобы достичь границ евклидового пространства вам также необходимо пройти бесконечный путь. Однако, если внимательно присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединенными прямыми линиями,
РАЙ И АД – Предел круга 4
Фигуры ангелов и дьяволов, вплотную примыкая друг к другу, заполняют плоскость. При движении от центра гравюры к ее краю фигуры уменьшаются, превращаясь в бесконечное множество фигурок, невидимых невооруженным глазом на самом краю. Этот замечательный орнамент основан на вполне математической идее – известной из евклидовой модели неевклидовой гиперболической плоскости, придуманной Анри Пуанкаре.Диск разделен на 6 секций, где доминируют ангелы на черном фоне и дьяволы – на белом. Таким образом, рай и ад меняются местами 6 раз. В промежуточных, «земных» стадиях они подобны друг другу.Эшер:"Иногда, когда я рисую, мне кажется, будто я медиум, находящийся во власти существ, порожденных моим же воображением. Рыбы становятся птицами. День ночью. Из хаоса рождается жизнь, она замирает в мертвых городах, трансформируется в шахматную партию и рассыпается в пыль. Мозаика оживает и превращается в ящериц, они движутся, живут и вновь уходят в орнамент."
БЕЛЬВЕДЕР
Лист бумаги лежит на выложенном квадратными плитами полу. Точки, в которых скрещиваютя ребра куба отмечены кружочками. На остове куба в руках у сидящего мальчика ребра скрещиваются самым невероятным ( и не реализуемым в трехмерном пространстве) образом. Множество «невозможных деталей имеется и в самом бельведере». Юноша, забравшийся на самый верх по пристанной лестнице, вист снаружи бельведера. Хотя основание лестницы находится внутри его. Человек в темнице, вероятно, сошел с ума, пытаясь разобраться в противоречиях причудливого мира, в котором он оказался по воле художника
ВВЕРХ ПО ЛЕСТНИЦЕ, ВЕДУЩЕЙ ВНИЗ
У Эшера было небольшое психическое отклонение - он испытывал болезненное влечение к падению. При взгляде вверх, на башню, гору или бесконечную вертикаль Эшер впадал в экстатическое оцепенение. Об этом вспоминают многие его биографы и друзья. Патологическая любовь к высоте породила его неповторимую манеру письма - что бы ни изображал Эшер, это было нарушение очевидного, падение вниз, выворачивание наизнанку, насмешка над силами тяжести и искривление позвоночного пространства.Может быть его преследовал некий инстинкт, призванный природой не уберечь, а уничтожить трехмерное пространство. Да, он определенно был разрушителем евклидовой геометрии.
ВОСХОЖДЕНИЕ И СПУСК
Использована одна из удивительных «невозможных » фигур , впервые обнаруженных английским генетиком Л.С. Пенроузом и его сыном математиком Р. Пенроузом .Монахи неизвестного ордена совершают неизвестный ритуал – нескончаемую прогулку по круговой галерее на крыше своего монастыря. При этом те, кто идет по «невозможной» лестнице во внешнем ряду – все время взбирается вверх, а те, кто шевствует во внутреннем ряду, столь же неуклонно спускаются вниз.Эшер : « И то, и другое, хотя и не лишено смысла , одинаково бессмысленно. Два мыслящих индивидуума (один на балконе, другой на лестнице), отказываются принимать участие в «упражнениях духа» Им кажется, что они постигли истину глубже, чем их собратья но рано или поздно они поймут ошибочность своего неконформизма»
МЕНЬШЕ И МЕНЬШЕ
Гравюра «Меньше и меньше» показывает типичный фрактальный объект.Самые известные фигуры во фрактальной геометрии. Эти рисунки построены по очень простому и экономичному правилу. Чтобы один компьютер передал другому свое произведение, достаточно сообщить только это правило. Естественно, тут же возникает идея «сжать изображение», то есть упаковать его в наиболее экономном виде, используя фрактальные алгоритмы, или применить такие подходы для создания шифров и кодов. В некоторых случаях это делается и с большим успехом.
ПОРЯДОК И ХАОС
Изображен малый звездчатый додекаэдр-один из четырех звездчатых многогранников Кеплера-Пуансо, Образующих вместе с пятью Платоновыми телами девять правильных многогранников. Малый звездчатый додекаэдр (вместе с еще одним звездчатым многогранникм) был впервые открыт Кеплером, который назвал его «ежом».Рисунок «ежа» был опубликован на страницах кеплеровской «Гармонии мира» - грандиозного трактата, в котором гармонические пропорции, открытые великим астрономом в формах геометрических фигур. Переносились на движение небесных тел.В «Гармонии мира» Кеплер впервые сформулировал свой знаменитый третий закон движения планет.На литографии «Порядок и хаос» изящная симметрия многогранника, вершины которого пронзают окружающий его мыльный пузырь, противостоит коллекция предметов, которые Эшер охарактеризовал как «выброшенные за ненадобностю, смятые и никому ненужные».
УЗЛЫ
Два зеркально симметричных узла, известных под названием «трилистник». Левый узел «сделан» из двух полосок, пересекающихся под прямым углом. Перед тем как концы такой крестообразной полоски были соединены, всю двойную полоску перекрутили на полоборота. Большой узел, изображенный под двумя трилистниками, «выпонен» из ажурной трубки четырехугольного сечения, перекрученной на четверт оборота перед склеиванием ее концов: муравей, ползущий по центральной дорожке, опишет четыре полных круга, прежде чем вернтся в исходную точку.
ТРИ СФЕРЫ АВТОПОРТРЕТ
Эшер изибразил три плоских диска, каждый из которых «закамуфлирован» под сферу . Нижний диск лежит на столе. Средний перегнут под прямым углом вдоль диаметра. Верхний диск стоит вертикально на горизонтальной половине среднего диска. Разобраться в «обмане» вам помогут линия сгиба среднего диска и одинаковая раскраска всех трех «псевдосфер»
ТРИ МИРА
Литография «Три мира» вызывает ощущение близости иной Вселенной. Вселенной, в которой существуют другие живые существа на Земле. Дело не только в том, что мы видим и слышим со многими из них в разных диапазонах. Не только в том, что «братья наши меньшие» могут иметь органы чувств, которых мы лишены. Представим хотя бы на минуту, что нашей естественной средой обитания была бы вода. Тогда земная твердь и океан в нашем восприятии как бы поменялись местами. Суша бы казалась чем-то вроде ближнего космоса. И, возможно, военные эксперты обсуждали бы вместо планов «звездных войн» возможности сухопутных боевых действий. Да и законы физики открывшись бы такой цивилизацией совсем в другом порядке
МОЗАИКА П
Орнаменты из ящериц, голов, фигур всадников — символы гармонии, точности, упорядоченности. Периодичность, повторяемость, простота правил игры. Именно та сфера, где преуспели точные науки. Поэтому картина «Мозаика II» воспринимается как большая неожиданность и блестящий парадокс даже среди творчества такого необычного художника, как Мориц Эшер. Здесь плоскость рисунка плотно заполнена фигурами рыб, животных, птиц, среди которых нет одинаковых. Нельзя вынуть ни одну из них, не нарушив гармонии целого. Человек выглядит здесь как равный среди равных. Странное сочетание хаоса и случайности с точностью и определенностью, характерное как для живого, так и для музыкальной гармонии. Здесь очень естественно выглядит гитара — символ мелодии жизни.
"ВОДОВОРОТЫ"
Эшер объединил спиралевидную форму и свой излюбленный художественный прием - регулярное разбиение плоскости (или мозаику). Здесь рыбы,выплыв из одного водоворота, попадают во второй и, погружась в него, постепенно уменьшаются в размерах и наконец совсем исчезают. Обратите внимание на постепенно уменьшающуюся в размерах мозаику. Если мысленно развернуть спираль, то мы увидим лишь два ряда рыб, плывущих навстречу друг другу. Но скрученные в спираль и соответствующим образом деформированные образы рыб полностью покрывают некоторую область бесконечной плоскости.
"СФЕРИЧЕСКИЕ СПИРАЛИ"
четыре полосы расположены на поверхности шара, проходя от одного полюса шара к другому. Похожий путь может пройти самолет, летящий с северного полюса земного шара на южный.
ЗВЁЗДЫ
Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры
Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера
Серия сообщений "живопись":Оригинал записи и комментарии на LiveInternet.ru
evelyn-apple.livejournal.com
